Фрактальная геометрия природы

Классифицировать научные труды Лейбница – занятие как нельзя более отрезвляющее. Рядом с дифференциальным исчислением и другими идеями, доведенными до логического завершения, взгляду открывается поразительное по количеству и разнообразию множество предварительных наметок и всевозможных замыслов. Некоторые примеры мы уже видели: «упаковка» в главе 18 и «принцип непрерывности» в первом разделе настоящей главы. Помимо этого, Лейбниц положил начало формальной логике и первым (в письме к Гюйгенсу, 1679) предположил, что в геометрии должна появиться новая область, позже получившая название топологии. (Перейдя на менее возвышенный уровень, отметим, что именно Лейбниц первым ввел в математические обозначения буквы еврейского алфавита и … знаки Зодиака!)

Моя лейбницемания еще более усугубилась, когда я обнаружил, что ее вдохновитель одно время придавал некоторое значение геометрической масштабной инвариантности. В работе «Euclidis πρωτα» (см. [296], том II.I, с. 183 – 211), представляющей собой попытку конкретизировать евклидовы аксиомы, Лейбниц на с. 185 пишет: «IV (2): У меня имеются самые разнообразные определения прямой. Например, прямая линия есть кривая, каждая часть которой подобна целому; этим свойством обладает лишь прямая, причем не только среди кривых, но и среди множеств». Сегодня мы можем доказать это утверждение. Далее Лейбниц описывает более ограниченные самоподобные свойства плоскости.

Независимо от Лейбница, та же мысль пришла в 1860 г. в голову Жозефа Дельбёфа (1831 – 1896), бельгийского мыслителя, чьи взгляды Б. Рассел подвергает беззлобной критике [506]. Дельбёф, переключивший свой энтузиазм любителя с классической литературы на философию геометрии, стал поистине необычной личностью в науке. Однако его «принцип подобия» почти ничего не добавляет к вышеприведенной цитате из Лейбница (о которой он, следует сказать, не знал, когда проводил свои исследования, и на которую он впоследствии сослался – благодаря чему о ней узнал и я – с трогательной смесью великодушия и гордости). Дельбёф подвизался у нас еще и на с. 580 (хотя и в несколько второстепенной роли).

Еще одно упоминание о масштабной инвариантности можно усмотреть (но только если вы достаточно великодушны, чтобы быть щедрыми к богачам) в максимах 64 и 69 «Монадологии» Лейбница, где он утверждает, что мельчайшие частицы мироздания обладают в точности настолько же сложной организацией, что и большие его части.

Лаплас также размышлял о вещах, имеющих отношение к масштабной инвариантности. В пятом издании его «Системы мироздания», опубликованном в 1842 г. и переведенном на английский язык (в четвертом издании 1813 г. этого нет), в главе V книги V имеется следующее замечание (см. [289], том VI): «Одним из замечательных свойств ньютоновского тяготения является то, что если размеры всех тел во Вселенной, расстояния между этими телами и скорости их движения пропорционально увеличивать или уменьшать, то они станут описывать кривые в точности подобные тем, что они описывают сейчас; т.е. Вселенная, уменьшенная до наименьших вообразимых размеров, явит внешним наблюдателям тот же самый облик. Законы природы, таким образом, позволяют нам наблюдать лишь относительные размеры … [Далее цитата продолжается в подстраничном примечании]. Все старания геометров доказать евклидову аксиому о параллельных прямых остаются по сей день безуспешными … . Понятие … окружности не несет в себе ничего, что было бы связано с ее абсолютной величиной. Однако если мы уменьшим ее радиус, нам придется уменьшить пропорционально и ее длину, и длины сторон всех вписанных в нее фигур. Эта пропорциональность представляется мне намного более естественной аксиомой, нежели упомянутая аксиома Евклида. Любопытно наблюдать это же свойство в результатах теории всемирного тяготения».

NATURA NON FACIT SALTUS И «ПРАВДИВАЯ ИСТОРИЯ ТЕВТОБОКА»

Фраза «natura non facit saltus» представляет собой наиболее известную формулировку «принципа непрерывности», о котором мы говорили в первом разделе настоящей главы и который Лейбниц полагал одним из «лучших и наиболее подтвержденных» своих достижений. Кроме того, этот принцип можно счесть неявным и отдаленным предтечей геометрических «промежуточных» форм – фракталов. Однако по утверждению Бартлетта [17], автором вышеприведенной фразы является Линней. Подобное приписывание показалось мне не совсем честным, я произвел собственное расследование и обнаружил несколько занятных фактов и целую историю.