Фрактальная геометрия природы

Г. Дж. С. Смит (1826 - 1883) в течение долгого времени был почетным профессором геометрии в Оксфорде, и его «Научные труды» многократно издавались и переиздавались (см. [529]). Разделив лавры с Германом Минковским, он посмертно сыграл главную роль в одном странном эпизоде, срежиссированном Эрмитом. Смит также стал одним из первых критиков римановой теории интегрирования. Один остряк (не тот, что прежде) как-то заметил, что если теории интегрирования Архимеда, Коши и Лебега можно смело считать богоданными, то теория Римана, вне всякого сомнения, представляет собой неуклюжее человеческое изобретение. В самом деле, Смит в 1875 г. (см. главу XXV в [529]) показал, что она неприменима к функциям, точки разрыва которых принадлежат определенным множествам. И какие же множества он привел в качестве примера? Канторову пыль (описанную в главе 8) и пыль положительной меры (см. главу 15).

Вито Вольтерра (1860 – 1940) независимо воспроизвел второй контрпример Смита в 1881 г.

Конечно, ни Смит, ни Вольтерра ничего больше не предприняли в отношении своих примеров, так ведь и Кантор в этом смысле никак не отличился! Все это описано у Хокинса [207], книга вышла в 1970 г., и мне очень интересно, почему больше нигде (насколько мне известно) не упоминается имя Смита как первооткрывателя «канторовых» пылевидных множеств?

МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ: СТАРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

Масштабная инвариантность в упругих шелковых нитях. Старейшее эмпирическое наблюдение, которое мы сегодня можем интерпретировать как свидетельство масштабной инвариантности в физической системе, было сделано – как это ни удивительно – сто пятьдесят лет назад. Тогда, по настоятельной просьбе Карла Фридриха Гаусса, Вильгельм Вебер занялся исследованием поведения шелковых нитей, применяемых для крепления подвижных катушек в электромагнитных приборах, при натяжении. Он обнаружил, что при приложении к нити нагрузки в продольном направлении происходит некоторое единовременное ее растяжение, причем если систему теперь оставить в покое, то с течением времени растяжение увеличивается. При снятии нагрузки происходит единовременное сжатие, равное по величине первоначальному растяжению, далее длина нити продолжает постепенно уменьшаться до тех пор, пока не достигает своего исходного значения. Остаточные эффекты возмущения следуют закону вида t^−γ, т.е. уменьшаются с течением времени гиперболически, а не экспоненциально, чего все ожидали от них тогда – как, впрочем, ожидают и по сей день.

В 1847 г. статью по этой теме публикует Кольрауш [273], далее следуют исследования упругого растяжения стекловолокна, предпринятые в 1865 г. Уильямом Томсоном (тем самым, который позднее стал бароном Кельвином), в 1867 г. – Джеймсом Клерком Максвеллом, и в 1874 г. – Людвигом Больцманом, статью которого Максвелл счел настолько важной, что удостоил ее упоминанием в девятом издании «Британской энциклопедии» (1878).

Над этими именами и датами стоит внимательно поразмыслить. Они свидетельствуют: для того, чтобы сделать ту или иную задачу достойной изучения, недостаточно простого проявления интереса со стороны ученых ранга Гаусса, Кельвина, Больцмана и Максвелла. Задача, которая представляется таким людям увлекательной, но в то же время оказывается им не по зубам, имеет все шансы впасть в полнейшее забвение.

Масштабная инвариантность в электростатических лейденских банках. История вопроса со слов Э. Т. Уиттекера выглядит следующим образом: «В 1745 году Питер ван Мушенбрук (1692 – 1761), профессор Лейденского университета, попытался отыскать способ предохранить электрические заряды от ослабления, какое происходило при соприкосновении заряженных тел с воздухом. С этой целью он исследовал эффект погружения электрически заряженной массы в воду, заключенную в сосуд из непроводящего материала, например, стекла. В одном из экспериментов сосуд с водой был подвешен к металлической трубке с помощью проволоки, причем проволока на несколько дюймов уходила в воду через пробку; сама же трубка, подвешенная на шелковых нитях, располагалась настолько близко от заряженного стеклянного шара, что при движении касалась его. В это время его друг по имени Кунсус, взяв стеклянный сосуд в одну руку, другой случайно коснулся металлической трубки и получил при этом сильный электрический удар; так был открыт способ накопления и усиления электрической энергии. Аббат Нолле назвал изобретенный Мушенбруком прибор лейденской склянкой».