Фрактальная геометрия природы

С точки зрения линейных сечений широкие классы неограниченных фракталов ведут себя достаточно просто: сечение почти наверняка пусто при D<2 и с положительной вероятностью непусто при D>2. (В главе 23 доказывается этот вывод для класса простых фракталов.)

Если бы множество-носитель турбулентного рассеяния удовлетворяло неравенству D<2, то из предыдущего заявления вытекало бы, что практически ни один из экспериментальных замеров не попадет в зоны турбулентности. Так как этого не происходит, можно предположить, что в реальности D>2. Это заключение обладает необычайной силой, поскольку оно опирается на многократно воспроизведенный эксперимент, возможные результаты которого сводятся к альтернативе между «часто» и «никогда».

Предварительный топологический аналог D_T>2 (см. [387]) выглядит весьма многообещающе, однако слишком специально для того, чтобы подробно рассматривать его на этих страницах.

ГАЛАКТИКИ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. СРАВНЕНИЕ

Неравенство D>2 для множества-носителя турбулентного рассеяния и обратное неравенство D<2 для распределения массы в космосе (см. главу 9) происходят из тесно связанных между собой разных знаков величины D−2 на типичном сечении фрактала и на его типичной проекции на плоскость (или на небесный свод). Для рассматриваемого в настоящей главе феномена такое сечение должно быть непустым. В главе 9, напротив, было показано, что эффект пылающего неба «отменяется», если большая часть проведенных от Земли прямых линий так никогда и не встречается ни с одной звездой. Это означает, что проекция всех звезд на земной небосвод должна иметь исчезающе малую площадь.

Различие между знаками при D−2 в двух упомянутых проблемах должно иметь самое непосредственное отношение к различию между их структурами.

(НЕ)РАВЕНСТВО ПОКАЗАТЕЛЕЙ [353, 387]

Множество полезных характеристик фрактально гомогенной турбулентности зависит исключительно от D. Эта тема рассмотрена в [387], где перемежающаяся турбулентность характеризуется с помощью ряда концептуально различных показателей, связанных некоторыми (не)равенствами. < Аналогичным образом обстоит дело с явлениями, происходящими в критической точке. ►

Спектральные (не)равенства. В [353] (где я, кстати, использовал обозначение θ=D−2) было впервые получено некое (не)равенство; обычно оно выражается через спектр скорости турбулентности, однако здесь мы запишем его в вариационной форме. Внутри фрактально гомогенной турбулентности скорость v в точке x удовлетворяет следующему выражению:

<|v(x)−v(x+r)|²>=|r|^2/3+B,

где B=(3−D)/3.

В случае гомогенной турбулентности Тейлора D=3, а значит, B обращается в нуль, после чего остается классический показатель Колмогорова 2/3, с которым мы встретимся снова в главе 30.

В [387] также показано, что в более общей модели взвешенного створаживания, описанной в [378], B≤(3−D)/3.

β-модель. Авторы работы [157] ухитрились нарастить на фрактально гомогенную турбулентность (как она описана в [387]) псевдодинамическую терминологию. Их интерпретация оказалась весьма удобной, хотя математические рассуждения и выводы идентичны моим. Термин «β-модель», которым окрестили эту интерпретацию, даже приобрел некую популярность, и теперь его нередко идентифицируют с фрактальной гомогенностью.

ТОПОЛОГИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ: ВОПРОС ВСЕ ЕЩЕ ОТКРЫТ

В предыдущих главах мы встретили с избытком свидетельств тому, что одно и то же значение D может характеризовать множества, весьма отличающиеся с точки зрения топологической связности. Топологическая размерность D_T ставит нижнюю границу для фрактальной размерности D, однако граница эта очень часто нарушается, причем величины этих нарушений столь велики, что сама граница теряет всякий смысл. Фигура с фрактальной размерностью в интервале от 2 до 3 может выглядеть и как «лист», и как «линия», и как «пыль», а разнообразие конкретных конфигураций настолько велико, что становится очень сложно подобрать или даже придумать новые названия для них. Например, фрактальные фигуры, в общем и целом напоминающие веревку, могут вырастить настолько плотные «пряди», что в результате получится нечто «большее», чем веревка. Аналогичным образом, фрактальные почти-листы оказываются чем-то большим, чем листы. Возможно также произвольно смешивать их «листовые» и «веревочные» признаки. На интуитивном уровне можно было бы понадеяться на то, что должна существовать некая более тесная связь между фрактальной размерностью и степенью связности, однако эту надежду математики потеряли где-то между 1875 и 1925 гг. Мы обратимся к одной специальной проблеме такого рода в главе 23, но уже сейчас можно сказать, что действительная природа весьма нечеткой связи между этими структурами представляет собой по существу неизведанную территорию.