Фрактальная геометрия природы

Другие явления, которые, как мне представляется, следует описывать с помощью масштабно-инвариантных фракталов, не имеют ничего общего ни с Эйлером, ни с Навье и Стоксом. Например, распределение галактик определяется уравнениями гравитации. Однако аргумент о сохранении симметрии применим ко всем масштабно-инвариантным уравнениям. В сущности, довольно туманное замечание Лапласа (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ, глава 41) можно теперь (задним числом!) истолковать так, будто оно намекает на тему главы 9.

В более общем смысле, фрактальный характер особенностей можно, скорее всего, проследить в неких обобщенных признаках, общих для самых различных уравнений математической физики. Может, это просто какой-то очень широкий род нелинейности? Мы еще вернемся к этому вопросу в главе 20 — правда, в несколько иной терминологии.

IV МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ФРАКТАЛЫ

12 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИНОЙ, ПЛОЩАДЬЮ И ОБЪЕМОМ

В главах 12 и 13 мы подробно рассмотрим свойства фрактальной размерности на примере многочисленных «мини-прецедентов» различной важности и возрастающей сложности, а в главе 14 покажем, что фрактальная геометрия непременно включает в себя различные концепции за пределами фрактальной размерности.

В настоящей главе мы опишем и применим к различным конкретным случаям фрактальные аналоги, которые я разработал специально для определенных стандартных выводов евклидовой геометрии. Их можно рассматривать как параллельные фрактальным отношениям вида M(R)∝R^D, полученным в главах 6, 8 и 9.

СТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Из того, что длина окружности радиуса R равна 2πR, а площадь диска, ограниченного этой окружностью, составляет πR², следует, что

(длина)=2π^1/2(площадь)^1/2.

Соответствующее соотношение для квадрата имеет вид

(длина)=4(площадь)^1/2.

Вообще в любом семействе плоских фигур, геометрически подобных, но имеющих различные линейные размеры, отношение (длина)/(площадь)^1/2 представляет собой число, полностью определяемое общей для семейства формой.

Пространство (E=3) предоставляет нам новые альтернативные способы оценки линейной протяженности фигуры с помощью (длины), (площади)^1/2 и (объема)^1/3, причем отношение между любыми двумя из этих трех величин является параметром фигуры, независимым от единиц измерения.

Эквивалентность различных линейных протяженностей во многих случаях оказывается очень полезной. А ее расширение (включающее время и массу) лежит в основе мощной методики, известной физикам как «анализ размерностей». (Желающим подробнее ознакомиться с основными его особенностями рекомендую прочесть [37].)

ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Однако нам известно множество примеров (и их количество неуклонно растет), демонстрирующих, к нашему вящему разочарованию, полное отсутствие эквивалентности между альтернативными линейными протяженностями. Например, мозг млекопитающего характеризуется соотношением

(объем)^1/3∝(площадь)^1/D,

где D~3 значительно больше ожидаемого значения 2. Измерения длины главной реки бассейна (см. [186]) показывают, что

(площадь)^1/2∝(длина)^1/D,

где D определенно больше ожидаемого значения 1. В ранних исследованиях этот последний результат объяснялся тем, что речные бассейны не самоподобны — большие бассейны имеют вытянутую форму, а маленькие несколько сплюснуты. К сожалению, такая интерпретация не согласуется с экспериментальными данными.

Ниже приведено мое объяснение этих и других похожих наблюдений с более убедительных позиций, и моим инструментом будет новое-фрактальное-соотношение между длиной, площадью и объемом.

ФРАКТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИНОЙ И ПЛОЩАДЬЮ

Для большей наглядности рассмотрим совокупность геометрически подобных островов с фрактальными береговыми линиями размерности D>1. Стандартное отношение (длина)/(площадь)^1/2 в этом контексте стремится к бесконечности, но я намерен показать, что оно имеет достойный фрактальный аналог, вполне пригодный для каких угодно практических целей. Определим длину побережья, измеренную с шагом длины G, как (G-длину), а площадь острова, измеренную в единицах G² — как (G-площадь). Учитывая, что зависимость (G-длины) от G нестандартна, в отличие от стандартной зависимости (G-площади) от G, мы можем записать следующее обобщенное отношение:

(G−длина)^1/D/(G−площадь)^1/2.

Я утверждаю, что значение этого отношения одинаково для любого из наших самоподобных островов.

В результате мы имеем два различных способа оценки линейной протяженности каждого острова в единицах G: стандартное выражение (G−площадь)^1/2 и нестандартное (G−длина)^1/D.