Глиняные книги

Преимущества позиционной системы, которой сейчас пользуются во всем мире, очевидны. Попробуем римскими цифрами написать число 3838. Это будет выглядеть так:

                                MMMDCCCXXXVIII

(то есть 1000+1000+1000+500+100+100+100+10+10+10+5+1+1+1).

Мы воспользовались для графического изображения этого числа четырьмя знаками. Римлянам для этого требовалось четырнадцать. Если же вглядеться внимательно в цифры, то окажется, что у нас их в данном примере всего две (3 и 8), а у римлян шесть (М, D, С, X, V, I).

Наметив удивительный по своей простоте принцип изменения значимости цифры в числовом комплексе, вавилоняне не сумели, однако, довести дело до конца. Сделали это позднее индусы. Но сама идея позиционной системы принадлежит древним вавилонянам.

Шестидесятиричная система

Фундаментом современной математики является десятиричная система. Она основана на счете десятками. Перестановка цифры в числовом комплексе на один шаг влево увеличивает ее значение в десять раз.

Вавилоняне, помимо десятиричной системы, пользовались также шестидесятиричной. Суть ее заключается в том, что в основу счисления положена цифра шестьдесят.

Поясним это примером.

Знак  обозначал единицу. Но если за ним следовал знак  (=10), то значение знака  увеличивалось в 60 раз. В некоторых случаях знак  мог обозначать 60² = 3600 и даже 60³ = 216 000.

Жители Двуречья пользовались одновременно двумя системами — десятиричной и шестидесятиричной, порою комбинируя их. Это усложняло счисление и требовало больших навыков при чтении и написании чисел.

Попробуем разобраться в вавилонских цифрах и числах на конкретных примерах.

Вавилонская единица — , как мы уже видели, очень напоминает нашу единицу. Это, по существу, вертикальная черточка, превратившаяся в клин в связи с тем, что ее писали на мягкой глине. Двойка изображалась двумя клинышками, тройка — тремя и так далее до десяти. Но, начиная с цифры четыре, — клинышки располагались в два и три этажа. Так, например, цифра 5 обозначалась знаком ; цифра 9 — . Мы уже знакомы с начертанием цифры 10 — , напоминающей угол. Знак  использовался для написания десятков до пятидесяти. Так, например, число 20 изображалось: ; число 50 выглядело: .

Но знак  — особенный. Он мог обозначать не только 10, но и 600 (то есть 10×60) — в зависимости от места, занимаемого им в числовом комплексе.

Для сотни употреблялся знак , для тысячи — знак . Нетрудно убедиться, что последний состоит из комбинации знаков 10 и 100, при этом подразумевается их произведение:

1000 = 10×100.

Как же, пользуясь вавилонской клинописью, написать число 12? Очень просто. Для этого употребим знак десятки и знак двойки. Знак  = 10 + 2 = 12.

Попробуем сейчас написать число 72. Оно будет выглядеть таким образом: .

Знак , поскольку за ним следует десятка , теперь уже читается не как единица, а как шестьдесят.

Знак  = 60 + 10 + 2 = 72.

Если нам нужно написать число 672, то мы к числу 72 припишем слева цифру . Таким образом, число 672 графически изображается так:

Знак  = 600 + 60+ 10 + 2 = 672.

В данном числовом комплексе один и тот же знак  в одном случае обозначает 600, а в другом — 10.

Припишем слева к этому цифровому комплексу знак , и мы получим совершенно новое число: 4272.

Знак  = 3600 + 672 = 4272.

В данном числовом комплексе знак  в одном случае обозначает 3600, в другом — 60, а в третьем — 1.

Приписав слева к числу 4272 еще один знак , получим — по тому же самому принципу — число 7872.

Знак  = 3600 + 3600 + 672 = 7872.

В ниневийской библиотеке была найдена таблица квадратов и кубов чисел от 1 до 38, служившая, очевидно, справочником для измерения площади полей и объема зданий. Составлена она была по шестидесятиричной системе.

Во всех приведенных выше примерах мы имеем дело со сложением цифр, хотя вавилонская клинопись и не знала знака, равноценного нашему плюсу, — он подразумевался. Для вычитания же имелся специальный знак , равнозначный минусу. Поэтому число 19, к примеру, можно было изобразить двояко:  или .

Первая группа знаков обозначает 10 + 9; вторая — 20 – 1. Дроби, которыми пользовались жители древнего Двуречья, имели характерную особенность: их знаменатель был равен 6, 60, 360 или 3600. Они обычно не писали ¹/₂, а писали ³/₆; писали ⁴/₆, а не ²/₃ и так далее.

Знали вавилоняне и другие дроби, с любым знаменателем. Но в этом случае числитель всегда равнялся единице.

Счетные таблицы

В Вавилонии были в большом ходу различного рода справочные таблицы. Они сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить повседневно.

Наша ученическая таблица умножения рассчитана на числа от единицы до ста. Вавилоняне пользовались таблицей умножения от 1 до 180 000. Ими была выработана краткая система записи, которая выглядела примерно так:

Первый столбец обозначает 2 × 1 = 2; 2 × 2 = 4; 2 × 3 = 6; 2 × 4 = 8. Постоянный множитель (2) писали только один раз, затем опускали.

Второй столбец обозначает 1 × 6 = 6; 2 × 6 = 12; 3 × 6 = 18; 4 × 6 = 24. Здесь постоянный множитель (6) вовсе отсутствует.