Глиняные книги

Значительно сложнее были таблицы, которыми пользовались при делении. Их характерная особенность — отсутствие делимого, которое подразумевалось.

В той же библиотеке Ашшурбанипала найдена таблица для возведения в степень и извлечения корня. Так как она служила сугубо практическим целям — измерению площадей и объемов, то в ней зафиксированы лишь квадратные и кубические корни. Вавилонянам не было нужды возводить числа в четвертую, пятую и более высокие степени, поэтому и отсутствовали соответствующие таблицы.

Запись была упрощенной:

Нетрудно догадаться, что первый столбец означает √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4.

Второй столбец надо читать так: ³√1 = 1, ³√8 = 2, ³√27 = 3, ³√64 = 4.

Те же таблицы, читаемые справа налево, служили для возведения в степень.

Измерение площадей и объемов

В практической жизни особое значение имело точное измерение полей, садов, строений. Правда, все обрабатываемые и возделываемые земельные участки были измерены еще в незапамятные времена, но ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи. Поэтому иногда после спада воды нужно было вновь перемеривать все участки, чтобы установить точные границы между ними. При купле, продаже, делении наследства также необходимо было измерить величину участков.

План дома. Обломки глиняной таблички.

До нас дошло немало землемерных карт, составленных свыше четырех тысяч лет тому назад. Вот одна из них.

План земельного участка. Клинописью обозначена длина сторон каждой из геометрических фигур и их площадь.

Внимательно рассмотрев приведенную фигуру неправильной формы, мы заметим, что она разбита на ряд прямоугольников, треугольников и трапеций. Измерив площадь каждой из этих фигур и сложив их, древний землемер получал общий размер всей площади.

Производство всех этих вычислений было для математиков Двуречья делом не простым. Это требовало больших навыков и длительных упражнений. В помощь обучающимся существовали учебники, в которых приводились типовые решения различных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Заметим попутно, что эти решения не всегда были абсолютно точны. Вавилоняне не гнались за точностью там, где это не вызывалось практической необходимостью.

В одном математическом сборнике, составленном в начале второго тысячелетия до нашей эры, приведена следующая задача: определить длину диагонали прямоугольника, если известны размеры его сторон.

Тут же даны два способа решения задачи с подробными комментариями.

В другом учебнике ставятся чисто практические задачи, связанные со строительными работами. Сколько земли потребуется для насыпи, размеры которой известны, и сколько грунта должен перетаскать каждый рабочий, если известно их общее число? Сколько глины должен заготовить каждый рабочий для возведения стены определенных размеров? Сколько земли может вместить корзина определенной формы?

К числу простейших задач, решение которых предлагалось начинающим, относится и следующая:

«За сколько дней можно изготовить кусок ткани определенной длины, если мы знаем, что ежедневно изготовляется столько-то локтей [мера длины] этой ткани?»

Единицы измерения

Вавилоняне выработали своеобразные меры веса, длины, площади и объема. Первоначально единицы измерения были весьма неточными. Например, длину измеряли пальцами, ладонями, локтями.

Результаты измерений каждый раз были разными, в зависимости от того, кто мерил.

В течение веков меры веса, длины и емкости были приведены к некоему единству, — этого требовали интересы торговли, всё более развивавшейся.

Ассирийские весы с коромыслом.

Мельчайшей единицей веса стало ячменное зерно — по-вавилонски шеум. В переводе на нашу метрическую систему 1 шеум равен примерно 46,75 миллиграмма. 180 зерен образуют 1 шекель (8,4 грамма). 60 шекелей составляли мину (около 500 граммов), 60 мин — 1 талант (30,3 килограмма).

Эти весовые единицы получили в древности широкое распространение, ими пользовались далеко за пределами Двуречья. В несколько измененном виде некоторые из них просуществовали в отдельных странах Азии и Европы до XVIII века.

Гиря весом в полмины.

В первом тысячелетии до нашей эры в связи с дальнейшим развитием денежной системы ячменное зерно как весовая единица потеряло свое значение. Вместо вышедшего из употребления шеума пользуются различными долями шекеля, чаще всего ¹/₂₄, ¹/₁₀, ¹/₈, ¹/₆, ¹/₄, ¹/₃, и ¹/₂. Эти мелкие весовые единицы становятся ходовыми и получают специальные наименования.

Мерой емкости в древнем Двуречье была так называемая сила, равная примерно 0,84 литра. 300 сила составляли 1 гур. Впоследствии появился облегченный гур, в котором было лишь 180 сила. В Ассирии, однако, гурами не пользовались. Здесь применяли другую единицу — имер, составленную из ста сила. Слово «имер» буквально значит: осел. Этим термином обозначали также ослиный вьюк (примерно 40 кг).