Я – странная петля

Здесь последует несколько замечаний, чтобы избежать путаницы, которую эта аллегория могла породить. В первую очередь, длина любой строки ПМ, которая говорит о своих собственных свойствах (прототипом которой, конечно, служит Гёделева строка KG), не просто «огромна», как я описал в начале аллегории; она непостижима. Я никогда не пытался подсчитать, из скольких символов состояла бы гёделевская строка, записанная в чистой нотации ПМ, поскольку я едва ли знал, как начать подсчет. Я подозреваю, что количество символов в ней вполне могло бы превзойти «число Грэма», которое обычно указывается как «самое большое число, которое когда-либо появлялось в математическом доказательстве», но даже если нет, оно бы задало ему жару. Так что мысль о том, что кто-то напрямую читает строки, растущие на Аустрании, на низком ли уровне, как утверждения о целых числах, или на высоком, как утверждения об их собственной съедобности, это полная чепуха. (Конечно, как и мысль, что строки математических символов могут расти в джунглях на отдаленной планете; как и мысль, что их можно есть, – но это все на правах аллегории.)

Гёдель создал свое утверждение KG, выстроив последовательность из 46 восходящих этапов, в которой он показал, что теоретически определенные понятия о числах могут быть записаны в нотации ПМ. Типичным таким понятием является «показатель степени k-го простого числа в разложении на простые множители числа n». Это понятие зависит от предыдущих понятий, определенных на более ранних этапах, таких как «показатель степени», «простое число», «k-е простое число», «разложение на простые множители» (ни одно из которые не является «встроенным понятием» в ПМ). Гёдель нигде не выписывает напрямую ПМ-выражения для этих понятий, поскольку для этого потребовалось бы записать непозволительно длинную цепочку символов ПМ. Вместо этого каждому отдельному понятию дается имя, своего рода аббревиатура, которую теоретически можно развернуть в чистую нотацию ПМ, если необходимо, и которая затем используется в дальнейших шагах. Гёдель снова и снова использует ранее определенные аббревиатуры в определении следующих аббревиатур, таким образом аккуратно выстраивая башню возрастающей сложности и абстрактности, проделывая путь к вершине, которой является понятие принципиального числа.

Мыло на санскрите

Это могло прозвучать слегка замысловато и труднодоступно, так что позвольте мне предложить аналогию. Представьте, что у вас есть задача написать понятное объяснение значения современного термина «стеллаж с программками мыльных опер» на древнем языке санскрите. Основное ограничение в том, что вам нужно использовать только чистый санскрит, каким он был в свою золотую пору, и нельзя добавлять ни единого нового слова в язык.

Чтобы детально передать значение «стеллаж с программками мыльных опер», вам бы для начала пришлось объяснить явление электричества и электромагнитных волн, видеокамер, передатчиков и телевизоров, телесериалов и рекламы, понятие стиральных машин и соперничества между производителями моющих средств, представление о ежедневных эпизодах предсказуемых банальных мелодрам, которые транслируются в дома миллионов людей, образ зрителей, зависимых от бесконечно повторяющихся сюжетов, понятие продуктового магазина, кассы, журналов, стеллажей с товарами, и так далее, и так далее. Каждое из слов «мыльный», «программка», «стеллаж» в итоге развернулось бы в цепочку древних слов на санскрите, в тысячи раз превосходящую по длине сами эти слова. В результате текст занял бы сотни страниц, чтобы передать значение этой фразы из пяти слов, обозначающей современную обыденность.

Подобным образом гёделевская строка KG, которую мы традиционно выражаем в суперсжатой форме при помощи фраз вроде: «Я недоказуема в ПМ», была бы чудовищно длинной, записанная в чистой нотации ПМ, – и все же, несмотря на ее устрашающий размер, мы в точности понимаем, о чем она говорит. Как это возможно? Это результат ее сжимаемости. KG – это не случайная последовательность символов ПМ, это формула, обладающая значительной структурностью. Как миллиарды клеток, составляющие сердце, настолько невероятно организованы, что их можно обобщить одним словом – «насос», так и мириады символов в KG можно обобщить несколькими как следует подобранными словами.