Я – странная петля

Один из этих причудливых парадоксов сочинил оксфордский библиотекарь по имени Дж. Дж. Берри в 1904 году, за два года до рождения Гёделя. Берри заинтересовался скрытыми возможностями словесного описания чисел. Он заметил, что, если достаточно тщательно поискать, можно найти довольно краткое описание любого целого числа. Например, число 7 можно назвать одним слогом, число 343 тремя слогами («семь в третьей»), число 1 000 010 можно назвать пятью слогами («миллион десять») и так далее. Каким минимальным количеством слогов вы сможете описать число 1737?

В целом можно подумать, что чем больше число, тем длиннее должно быть его описание, но все зависит от того, насколько просто описать число при помощи «примечательных» целых чисел – этих редких чисел, которые обладают исключительно короткими именами или описаниями вроде крайне экономного шестисложного описания «десять в триллионной». Конечно, в основном большие числа не являются ни примечательными, ни их соседями. В самом деле, по большей части числа «сумрачные» и допускают только очень длинные и сложные описания, так как они попросту «трудно описуемые», как дальний аванпост, расположенный в самой глубинке, куда можно добраться только по множеству узких проселочных дорог, которые становятся тем уже и ухабистее, чем ближе вы подходите к цели.

Рассмотрим 777 777, стандартное название которого «семьсот семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь» достаточно длинное – 14 слогов. Но у этого числа есть и более короткое описание: «777 на 1001» («семьсот семьдесят семь на тысячу один»), а это 12 слогов. Экономия!

Постаравшись, мы можем придумать кучу разных выражений, которые обозначают число 777 777, и некоторые из них могут содержать очень мало слогов. Как насчет «трижды тридцать семь на тысячу один»? Получим 11 слогов! А как насчет «7007 на 111» («семь тысяч семь на сто одиннадцать»)? 10 слогов! А что насчет «число из шести семерок в ряд»? Всего 9! Насколько сильно мы можем сжать описание этого числа? Ответ вовсе не прозрачен, поскольку 777 777, вероятно, имеет некоторое неочевидное арифметическое свойство, которое позволяет его выразить очень емко. Это описание может даже ссылаться на примечательные числа, куда большие, чем 777 777!

Библиотекарь Берри, размышляя о неочевидной задаче поиска все более коротких описаний, придумал дьявольское определение одного очень особенного числа, которое в его честь я окрестил b: число b является наименьшим натуральным числом, описание которого на английском языке требует хотя бы тридцать слогов. Иными словами, b невозможно в точности описать менее чем тридцатью слогами. И раз уж для его описания требуется такое огромное количество слогов, мы знаем, что b должно быть огромным числом. Насколько большим приблизительно может быть b?

Любое огромное число, которое вы встретите в газете, журнале, астрономическом или физическом тексте, почти наверняка может быть описано дюжиной слогов, самое большее двадцатью. Например, число Авогадро (6 × 10²³) может быть описано очень лаконично («шесть на десять в двадцать третьей» – всего восемь слогов). Не так-то просто будет найти настолько громадное число, для описания которого, как бы вы ни старались, потребуется как минимум тридцать слогов.

В любом случае число Берри b по определению первое такое натуральное число, которое невозможно уварить до менее чем тридцати слогов нашего языка. Это – я повторю, выделив фразу курсивом, – наименьшее целое число, описание которого требует хотя бы тридцать слогов. Но погодите-ка! Сколько слогов содержит моя курсивная фраза? Подсчитаем их – 29. Нам как-то удалось описать b меньшим количеством слогов, чем допускает его определение. Более того, курсивная фраза не просто «как-то» описывает b; это и есть его определение! Так что идея о существовании b гадким образом подрывает сама себя. Что-то очень странное тут происходит.

Не могу описать, насколько неописуемо это было!

Так получилось, что некоторые распространенные слова в языке обладают общим саморазрушительным свойством. Возьмем, к примеру, прилагательное «неописуемый». Если я скажу: «Их дом был неописуемым», после этой фразы у вас точно возникнет некий визуальный образ – хотя (или, скорее, именно поскольку) это прилагательное предполагает, что никакое описание для него не подходит. Еще более странно будет сказать: «Шины грузовика были неописуемо огромными», или: «Не могу передать, как я благодарен вам за вашу доброту». Это саморазрушительное качество странным образом имеет ключевое значение для коммуникации.