Я – странная петля

Существует также «младшая версия» парадокса Берри, изобретенная несколько десятилетий спустя, которая работает следующим образом. Некоторые натуральные числа интересны. Число 0 интересно, поскольку умножение любого числа на 0 дает 0. Число 1 интересно, поскольку умножение 1 на любое число оставляет его неизменным. Число 2 интересно, поскольку это наименьшее четное число, а число 3 интересно, поскольку это число сторон простейшего двумерного многоугольника (треугольника). Число 4 интересно, поскольку это первое составное число. Число 5 интересно, поскольку (помимо прочего) это количество правильных трехмерных многогранников. Число 6 интересно, поскольку это факториал трех (3 × 2 × 1), а также третье треугольное число (3 + 2 + 1). Я могу продолжить перечисление, но суть вы уловили. Вопрос в том, когда нам попадется первое неинтересное число. Может, это 62? Или 1729? Что ж, каким бы оно ни было, это определенно интересное свойство числа! Так что 62 (или любой другой ваш числовой кандидат) все же оказывается интересным – интересным из-за своей неинтересности. Таким образом, идея «наименьшего неинтересного числа» ударяет по себе самой, и это определенно напоминает работающее против себя самого определение b, числа Берри.

От языковых вывертов подобного рода, как мы уже знаем, скрутило чувствительный желудок Бертрана Рассела, и все же, к его чести, никто иной, как Б. Рассел впервые опубликовал парадоксальное число b Дж. Дж. Берри. В его заметке об этом числе, опубликованной в 1906 году, в год рождения Гёделя (восемь слогов!), Рассел постарался отклонить острие этого парадокса, заявив, что он является иллюзией, возникшей из наивного злоупотребления словом «описываемый» в контексте математики. Употребление этого слова, заявлял Рассел, необходимо разложить в бесконечную иерархию разных типов описуемости – описаний на уровне 0, которые могут ссылаться только на понятия чистой арифметики; описаний на уровне 1, которые могут использовать арифметику, а также ссылаться на описания уровня 0; описаний на уровне 2, которые могут ссылаться на арифметику, а также на описания уровней 0 и 1; и так далее, и тому подобное. Таким образом, идея «описуемости», не сведенная к определенному иерархическому уровню, являлась химерой, объявил Рассел, убежденный, что открыл глубокую новую истину. И с помощью этого новейшего типа теории (новейшей теории типов), заявил он, удалось привить иммунитет бесценному, нежному миру строгой доказуемости от уродливой, тошнотворной чумы Берри-Берри.

Нечеткость сгубила Берри

Хотя я согласен с Расселом, что в парадоксе Берри происходит что-то сомнительное, я расхожусь с ним во мнении, что именно. Слабое место, на котором сосредоточен я, заключается в том, что английский язык – безнадежно неточное средство для формулирования математических утверждений; его слова и фразы слишком размыты. То, что сперва кажется точным, оказывается исполненным двусмысленностей. Например, выражение «девять в кубе плюс сорок восемь, на десять в кубе плюс один», которое тоже является одним из описаний вышеупомянутого числа 777 777, на деле двусмысленно – его, например, можно истолковать как произведение 777 и 1000 с единицей на конце, что равняется 777 001.

Но некоторая двусмысленность здесь – лишь верхушка айсберга. Суть дела в том, что крайне неясно, какого рода английские выражения считаются описанием чисел. Взгляните на следующие фразы, которые подразумеваются как описание некоторых конкретных натуральных чисел:

• количество различных языков, на которых когда-либо говорили на земле;

• количество твердых тел в Солнечной системе;

• количество различных магических квадратов размером 4 на 4;

• количество интересных натуральных чисел меньше 100.

Что с ними не так? Что ж, в каждой из них фигурирует недостаточно определенное понятие.

Что, например, подразумевается под «языком»? Является ли языком язык жестов? На нем «говорят»? Есть ли четкая граница между языками и диалектами? Сколькими «различными языками» выстлан путь от латыни до итальянского? На скольких «различных языках» говорили со времен неандертальцев до латыни? Является ли языком церковная латынь? А поросячья латынь? Даже если бы у нас были видеозаписи каждого человеческого высказывания за миллионы лет существования земли, идея объективно соотнести каждое с определенным «официальным» языком, затем отделить друг от друга все «по-настоящему различные» языки и, наконец, подсчитать их была бы по-прежнему абсурдной несбыточной мечтой. Идея посчитать все «предметы» в мусорном баке уже достаточно бессмысленна, что уж говорить о подсчете всех языков за все времена!