Я – странная петля

Продолжая мысль, что считается «твердым телом»? Считаются ли искусственные спутники? А случайные и неприкаянные обломки, оставленные астронавтами? Считается ли каждый астероид? Все до единого камушки, болтающиеся в кольцах Сатурна? Как насчет крупинок пыли? Как насчет отдельных атомов, болтающихся в открытом космосе? Где заканчивается Солнечная система? И так далее, до бесконечности.

Вы можете возразить: «Но это не математические понятия! Идея Берри была в том, чтобы использовать математические определения натуральных чисел». Хорошо, но покажите мне четкую границу между математикой и остальным миром. Определение Берри опирается, например, на размытое понятие «подсчета слогов». Сколько слогов в словах «декабрь», «кентавр», «смысл», «монокль», «аутодафе»? Впрочем, не важно; допустим, мы установили строгий и объективный способ подсчета слогов. И все же, что считается «математическим понятием»? Действительно ли математическая дисциплина определена так четко? Например, каково точное определение понятия «магический квадрат»? Разные авторы определяют его по-разному. Необходимо ли провести опрос математического сообщества? И если да, кто же считается членом этого туманного сообщества?

Что насчет туманного понятия «интересных чисел»? Можем ли мы дать ему какое-то математическое уточнение? Как вы видели выше, причины для того, чтобы назвать число «интересным», могут касаться геометрии и прочих разделов математики – но, опять же, где лежат границы математики? Является ли разделом математики теория игр? Что насчет медицинской статистики? Что насчет теории о закручивании усиков растений? И так далее, и так далее.

Итак, идея об «англоязычном определении натурального числа» обернулась непроходимым болотом, и изворотливое определение Берри числа b, в той же степени, что и изворотливая идея Эшера о двух руках, рисующих друг друга, оказалось плодом гениального воображения, а не настоящей странной петлей. Очередной многообещающий кандидат в странные петли улетел в трубу!

Хотя в этом коротком отступлении я выставил идею Берри 1904 года в наивном свете, я должен обратить внимание, что шестьдесят лет спустя молодой математик Грег Чайтин, вдохновленный идеей Берри, использовав компьютерные программы вместо определений на английском языке, придумал ее более точно определенную сестру, и этот умный ход повлек за собой радикально новое доказательство и радикально новый взгляд на теорему Гёделя 1931 года. Продолжив с новой позиции, Чайтин и другие стали развивать важную новую ветвь математики, известную как «алгоритмическая теория информации». Мы уйдем сильно в сторону, если погрузимся в нее, но, надеюсь, я сумел передать, насколько плодотворным было наблюдение Берри, послужившее почвой для революционных идей Гёделя.

Сэндвич с арахисовым маслом и барбарисом [15]

Попытка Бертрана Рассела вставить палки в колеса парадоксальной конструкции Берри, установив формализм, исключающий все самореферентные лингвистические высказывания и самосодержащие множества, была не только опрометчивой, но и ошибочной. Как же так? Что ж, одна моя подруга недавно рассказала мне о запрете в стиле Рассела, установленном одной ее подругой, молодой и идеалистичной мамой. Эта женщина, исходя из лучших побуждений, строго-настрого запретила в доме игрушечные пистолеты. Какое-то время запрет работал, пока однажды она не сделала своему сыну сэндвич с арахисовым маслом. Парень быстро обгрыз его в форме пистолета, взял его и, направив на маму, закричал: «Пау-пау! Мам, ты умерла!» Этот иронический анекдот служит иллюстрацией к важному уроку: среда, которая остается после всех ваших жестких запретов, может оказаться достаточно гибкой для того, чтобы вылепить именно те вещи, которые вы запретили.

И правда, то, что Рассел отстранил Берри, возымело очень слабый эффект, поскольку в интеллектуальной сутолоке тех дней, на стыке столетий, изобреталось (или раскапывалось) все больше и больше парадоксов. В воздухе висело ощущение, что могут случиться поистине необыкновенные вещи, и современные потомки разных древних парадоксов всплывали в строго логичном мире чисел, в мире, в котором ничего подобного раньше не случалось, в первозданном раю, появление парадоксов в котором никому и не снилось.