Я – странная петля

Так что я решил найти наименьшее натуральное число, которое бы обе книги сочли полностью лишенным интереса, и этим числом оказалось 62. К слову, таков будет мой возраст, когда книга выйдет из печати. Может ли быть, что 62 в итоге все-таки интересно?

Глава 9. Паттерны и доказуемость

«Принципы математики» и ее теоремы

В начале XX века Бертран Рассел, вдохновленный максимой «Найди и изучи парадоксы; придумай и построй хорошо укрепленные стены, чтобы они не прошли!» (мои, не его слова), решил, что в «Принципах математики», в его новой, обнесенной валом крепости математических доказательств, ни одно множество не сможет включать самое себя и ни одно высказывание не сможет, обернувшись, говорить о самом себе. Эти похожие друг на друга запреты предназначались для того, чтобы уберечь «Принципы математики» от ловушки, в которую попадали другие, более наивные теории. Однако, когда Курт Гёдель поближе присмотрелся к тому, что я буду называть ПМ, – к формальной системе, применяемой в «Принципах математики» для рассуждения о множествах (и о числах, но они, определенные в терминах множеств, появились позже), – обнаружилось кое-что странное.

С вашего позволения, я слегка поясню разницу между «Принципами математики» и ПМ. Первая состоит из трех увесистых томов, тогда как ПМ состоит из набора четких правил по преобразованию символов; эти правила изложены и исследуются в глубинах книжных томов с использованием довольно мудреной системы обозначений (см. в конце этой главы). Аналогичная разница между массивным томом Исаака Ньютона под названием «Принципы»[16] и изложенными в нем законами механики.

Хотя понадобилось множество глав с выкладками и теоремами, прежде чем строго, с использованием точных правил по перестановке символов был продемонстрирован довольно непримечательный факт, что один плюс один равняется двум (что в системе обозначений ПМ записывается как «s0 + s0 = ss0», где буква s обозначает «следующий за»), Гёдель все же понял, что ПМ, будучи ужасно громоздкой, обладала невероятной мощью, когда речь заходила о целых числах – скорее даже, когда речь заходила о сколь угодно неявных свойствах целых чисел. (Кстати, словосочетание «сколь угодно неявные свойства» уже выдает весь секрет, хотя подсказка настолько завуалированная, что почти невозможно догадаться, на что намекают эти слова. Понадобился Гёдель, чтобы полностью разобраться.)

Например, как только в «Принципах математики» был введен теоретический аппарат по работе с множествами, достаточный, чтобы появились базовые арифметические понятия вроде сложения и умножения, в формальных терминах ПМ стало легко определять более интересные понятия, среди которых были «квадрат» (например, квадрат целого числа), «не квадрат», «простое число» и «составное число».

Теоретически мог бы существовать целый том «Принципов математики», полностью посвященный исследованию вопроса о том, какие натуральные числа являются суммой двух квадратов, а какие нет. Например, 41 является суммой 16 и 25, и существует бесконечно много прочих натуральных чисел, которые можно получить, сложив два квадрата. Назовем их членами Класса А. С другой стороны, 43 не является суммой никакой пары квадратов, и, соответственно, существует бесконечно много прочих натуральных чисел, которые нельзя получить, сложив два квадрата. Назовем их членами Класса B. (К какому классу относится 109? Что насчет 133?) Несмотря на деликатность задачи, полностью постичь эту элегантную дихотомию на множестве всех натуральных чисел исследователям теории чисел удалось задолго до рождения Гёделя.

Аналогично, можно вообразить еще один том «Принципов математики», полностью посвященный изучению вопроса, какие числа являются, а какие не являются суммой двух простых чисел. Например, 24 является суммой 5 и 19, тогда как 23 не является суммой какой-либо пары простых чисел. И, опять же, мы можем назвать эти два класса натуральных чисел Классом C и Классом D соответственно. В каждом классе бесконечное количество членов. Задача полностью постичь эту элегантную дихотомию на множестве всех натуральных чисел для специалистов по теории чисел представляется крайне сложной; и она по сей день не решена, хотя за два с лишним столетия с момента, как проблема была сформулирована впервые, ученые сильно продвинулись вперед.

Смешивая две непохожие идеи: простые числа и квадраты

Прежде чем мы возьмемся за неожиданное и поворотное осознание Гёделем ПМ, необходимо сперва сказать пару слов о глубокой радости от изучения паттернов, а затем о глубокой радости от понимания, что за ними стоит. Именно упорный поиск математиками ответа на вопрос «почему» и составляет в итоге природу их науки. Один из моих любимых фактов из теории чисел, надеюсь, послужит хорошим примером и немного вас развлечет.