Я – странная петля

Давайте зададимся достаточно простым вопросом о простых числах. Какие простые числа являются суммой двух квадратов (как, например, 41), а какие нет (как, например, 43)? Иными словами, давайте вернемся к Классам A и B, каждый из которых бесконечен, и спросим, какие простые числа к какому классу относятся. Возможно ли, что почти все простые числа относятся к одному из этих классов и лишь немногие к другому? Или пятьдесят на пятьдесят? В каждом ли из классов бесконечно много простых чисел? Если взять случайное простое число p, есть ли легкий и быстрый способ определить, к какому из классов p относится (не перебирая все возможные суммы квадратов, меньших, чем p)? Есть ли некая предсказуемая модель, в соответствии с которой числа распределяются по этим двум классам, или там царит беспорядочный хаос?

Некоторым читателям, возможно, кажется, что эти вопросы специфичны, более того, что браться за них неестественно, но математики по сути своей очень любопытные люди, и частенько их ужасно привлекает мысль о том, чтобы исследовать связи между понятиями, которые априори не кажутся взаимосвязанными вовсе (как, например, простые числа и квадраты). Часто случается, что находится неожиданная и тесная связь – некая безумная скрытая закономерность, с виду просто магическая, из-за открытия или разоблачения которой вдоль позвоночника иногда пробегает мистическая нервная дрожь. Я лично безо всякого стыда признаю свою невероятную восприимчивость к этим коктейлям из трепета, красоты, загадочности и неожиданности, изрядно щекочущим нервы.

Чтобы притереться к такого рода вещам, давайте возьмем список всех простых чисел до 100 – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 – между прочим, довольно беспорядочный и хаотичный список, – и перепишем его, выделяя те простые числа, которые являются суммой двух квадратов (то есть простые числа из Класса A), и оставляя нетронутыми те, которые не являются (простые числа из Класса B). Вот что мы получим:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Видите ли вы здесь что-нибудь интересное? Ну, по крайней мере, уже не выглядит неожиданным тот факт, что соревнование довольно равное? Почему так? Почему либо Класс A, либо Класс B не может доминировать? Возьмут ли простые числа Класса A или Класса B со временем верх или их приблизительный баланс будет продолжаться вечно? Чем дальше в бесконечность мы будем продвигаться, тем ближе будет баланс к точному соотношению пятьдесят на пятьдесят? Если так, почему сохраняется такой удивительный и деликатный баланс? Для меня в этом есть что-то невероятно манящее, так что я предлагаю вам посмотреть немного на этот пример – скажем, пару минут – и попытаться найти в нем какую-нибудь закономерность, прежде чем продолжать.

Охота на паттерны

Итак, читатель, мы с вами снова встретились – надеюсь, после некоторых паттерновых поисков с вашей стороны. Скорее всего, вы заметили, что непреднамеренно и случайно (случайно ли?) после выделения наш список распался на одиночек и парочки. Уже обнаружилась скрытая связь?

Посмотрим на это еще немного. Жирным шрифтом выделены парочки 13–17, 37–41 и 89–97, тогда как не выделены 7-11, 19–23, 43–47, 67–71 и 79–83. Теперь предлагаю заменить все парочки буквой П, а все одиночки буквой О, сохраняя выделение, которое отличает Класс A от Класса B. Так мы получим следующую последовательность букв:

О, О, О, П, П, П, О, О, П, П, О, О, О, П, О, П, П…

Есть ли здесь некая закономерность или ее нет? Как вы думаете? Если мы оставим только буквы Класса A, получится так: ООПОПОООП; если же мы оставим только буквы Класса B, получится так: ОППОПОПП. Если тут и есть периодичность или какая-то менее очевидная ритмичность, ее трудно уловить. Ни в обычной строке, ни в жирной не бросается в глаза никакой предсказуемый паттерн, и в смеси из них тоже не видно ничего примечательного. Мы заподозрили баланс в распределении чисел по двум классам, но пока что совершенно неясно, откуда он мог бы взяться. Вызывающе, но досадно.

Люди, которые упорно преследуют паттерны

В этот момент я чувствую необходимость указать на различие между двумя классами людей, а не чисел. Есть те, кого мысль о поиске паттернов привлекает мгновенно, и те, кто сочтет его неинтересным, возможно, даже противным. Первые – это, по сути, те, у кого есть математические наклонности, а вторые – у кого их нет. Математики – это люди, которых в глубине души манит – а если честно, то с легкостью соблазняет, – необходимость найти паттерны там, где изначально кажется, что их нет. Именно страстные поиски порядка в кажущемся беспорядке подпитывают их пламя и разжигают в их душах огонь. Я надеюсь, что вы относитесь к этому классу людей, дорогой читатель, но даже если нет, прошу, потерпите еще немного.