Я – странная петля

Может казаться, что мы уже раскусили паттерн типов – а именно, что мы вечно будем натыкаться на одиночек и парочки. Даже если пока что мы не можем сказать, как будут разбросаны О-шки и П-шки, по крайней мере, похоже, что применение дихотомии «сумма-двух-квадратов vs не-сумма-двух-квадратов» к последовательности простых чисел разбивает ее на одиночек и парочки, а это уже невероятное открытие! Кто бы мог подумать?

К сожалению, я должен признать, что вожу вас за нос. Если мы просто добавим следующее простое число, а именно 101, в наш список, оно подорвет порядок, который мы как будто нашли. В конце концов, простое число 101, будучи суммой двух квадратов, 1 и 100, и потому принадлежащее к Классу A, должно быть напечатано жирным шрифтом, так что наша мнимая пара 89–97 оказывается жирной тройкой. Таким образом, наша обнадеживающая идея о последовательности из О-шек и П-шек пошла прахом.

Что в этот момент делает охотник за паттернами? Сдается? Конечно, нет! Потерпев неудачу, изворотливый охотник за паттернами всего лишь перегруппировывается. В самом деле, давайте воспользуемся подсказкой этого слова и попробуем перегруппировать последовательность простых чисел другим способом. Допустим, мы разделим эти два класса, расположив их на двух разных строках, и получим следующее:

Да – квадрат + квадрат: 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, …

Нет – квадрат + квадрат: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, …

Видите что-нибудь? Если нет, позвольте вам намекнуть. Что, если вы просто вычислите разность между соседними числами в каждой строке? Попробуйте сами – или, если вам очень лень, просто читайте дальше.

В верхней строке вы получите 3, 8, 4, 12, 8, 4, 12, 8, 12, 16, 8, 4, тогда как в нижней строке вы получите 4, 4, 8, 4, 8, 12, 4, 12, 8, 4, 8, 4. На этом этапе кое-что уже должно бросаться в глаза даже самому безразличному читателю: здесь не только явно преобладает несколько чисел (4, 8 и 12), но, кроме того, все эти натуральные числа делятся на 4. Похоже, что это уже больше, чем просто совпадение.

И самое большое число в обоих списках – 16 – также делится на 4. Будет ли этот новый паттерн – исключительно числа, кратные 4, – продолжаться вечно? (Конечно, в самом начале праздник нам портит «3», но мы можем списать это на то, что число 2 – единственное четное простое число. Ничего страшного.)

Где есть паттерн, там есть причина

Нескольких предыдущих строк обозначают веру в то, что этот паттерн не может быть просто совпадением. Обнаружив паттерн такого рода, математик инстинктивно спросит: «Почему? Какова причина этой закономерности?» Любой математик не только задастся вопросом, в чем причина, но, что более важно, каждый из них будет безоговорочно верить, что, найдись эта причина или нет, она должна быть. В мире математики ничто не происходит «случайно». Существование идеального паттерна, закономерности, которая продолжается вечно, свидетельствует о том, что что-то происходит за кадром – точно так же, как дым свидетельствует об огне. Математики считают своим священным долгом искать его, обнаруживать и предавать гласности.

Эта деятельность называется, как вы все знаете, «поиском доказательства», или, иначе говоря, превращением гипотезы в теорему. Покойный Пал Эрдёш, великий и эксцентричный венгерский математик, однажды бросил шутливое замечание, что «математик – это устройство, которое превращает кофе в теоремы», и хотя в его остроте определенно есть доля истины, было бы вернее сказать, что математики – это устройства, которые находят гипотезы и превращают их в теоремы.

В основе математического склада ума лежит непоколебимая вера в то, что если некоторое математическое утверждение X истинно, то у X есть доказательство, и наоборот. В самом деле, в сознании математика «иметь доказательство» – это не больше и не меньше, чем «быть истинным»! Симметрично, «быть ложным» означает «не иметь доказательства». Можно найти намеки на идеальный, бесконечный паттерн, произведя числовое исследование, как мы сделали выше, но как можно знать наверняка, что предполагаемая закономерность будет продолжаться вечно, не имея конца? Как, например, можно быть уверенным, что простых чисел бесконечно много? Откуда нам знать, что однажды не наступит последнее, Великое Простое Число P?