Я – странная петля

Хоть я и не буду продолжать углубляться в изучение конкретно этого примера, я скажу, что эта теорема доказывается во многих учебниках по теории чисел (она далеко не тривиальна), то есть паттерн подтверждается доказательством. Как я сказал ранее, X истинно, поскольку X доказуемо, и наоборот, X истинно и потому доказуемо.

Долгие поиски доказательств и их природы

Выше я упомянул, что вопрос «Какие числа являются суммой двух простых?», поставленный почти 300 лет назад, так и не был полностью решен. Впрочем, математики – упорные ищейки, и их поиски доказательства могут продолжаться веками, даже тысячелетиями. Нескончаемые поражения не подрывают их боевой дух на пути к доказательству математического паттерна, который, исходя из числовых тенденций, скорее всего, продолжается вечно. В самом деле, обширные эмпирические подтверждения математических гипотез, которые удовлетворили бы большинство людей, лишь раззадоривают и расстраивают математиков. Им нужно доказательство не хуже Евклидова, а не куча точечных проверок! Ими движет вера в то, что доказательство должно существовать – иными словами, если доказательства не существует, предполагаемый паттерн должен быть ложным.

Так образуется обратная сторона Кредо Математика:

X ложно, поскольку не существует доказательства X;

X ложно, и потому не существует доказательства X.

Одним словом, доказуемость и истинность для математика одно и то же, равно как недоказуемость и ложность. Это синонимы.

В течение нескольких веков после эпохи Возрождения математика разветвилась на множество отраслей науки, и в разных ее ветвях были найдены разнообразные доказательства. Время от времени, правда, результаты строгих доказательств получались совершенно абсурдными, но никто не мог точно определить, где все пошло наперекосяк. Появлялись все более странные результаты, и сомнения насчет самой природы доказательств тревожили математиков все сильнее, пока наконец, в середине девятнадцатого века, не возникло мощное движение, целью которого было определить, что же такое рассуждение, и навечно связать его с математикой, объединив две сущности в одну.

Многие философы и математики сделали свой вклад в это благородное движение, и на пороге двадцатого века цель, похоже, забрезжила на горизонте. Математические рассуждения как будто бы удалось точно охарактеризовать многократным использованием определенных базовых законов логики, которые окрестили правилами вывода, или modus ponens: если вы доказали результат X, а также доказали X⇒Y (стрелочка здесь представляет собой операцию импликации, а запись означает «если X истинно, то Y тоже истинно»), то вы можете отправлять Y в корзину доказанных результатов. Существует и несколько других фундаментальных правил вывода, но было решено, что их требуется не так уж и много. В первом десятилетии двадцатого века Бертран Рассел с Альфредом Нортом Уайтхедом закодировали эти правила в довольно тернистой форме (см. ниже), таким образом позволив, как всем казалось, добавить логику ко всем отраслям математики и создать их безукоризненный, идеальный союз.

Благодаря великому труду Рассела и Уайтхеда «Принцип математики» людям больше не нужно было бояться упасть в скрытые расщелины ложных рассуждений. Теоремы теперь понимались как итоговый результат последовательных манипуляций с символами, предпосылками которых служили либо аксиомы, либо более ранние теоремы. Математическая истина складывалась теперь так элегантно. И пока вырисовывались очертания этого Священного Грааля, в городе Брюнн, в Австро-Венгрии, рос маленький мальчик.

Глава 10. Важнейшая странная петля Гёделя

Гёдель знакомится с Фибоначчи

В свои двадцать с небольшим юноша из Брюнна был уже превосходным математиком и, как и все математики, знал, что разнообразие целых чисел не имеет предела. Он знал множество других разновидностей чисел кроме квадратов, кубов, простых чисел, степеней десятки, суммы двух квадратов и прочих обычных подозреваемых. Критически важным для его будущего был тот факт, что благодаря Леонардо Пизанскому (более известному как Фибоначчи) юный Курт знал: классы чисел можно определять рекурсивно.

В 1300-х годах[17] Фибоначчи сочинил и исследовал то, что мы сегодня знаем как «числа Фибоначчи»:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

В этой стремительно возрастающей бесконечной последовательности, члены которой я теперь буду называть числами F, каждый новый элемент создается из суммы двух предыдущих (кроме первой пары, 1 и 2, которые мы просто напрямую объявляем числами F).