Я – странная петля

А затем прибыла большая команда математиков, которые коллективно нацелились на «большую игру» Последней Теоремы Ферма (знаменитое заявление, сделанное Пьером Ферма в середине семнадцатого века, которое гласит, что не существует таких натуральных чисел a, b, c, что aⁿ + bⁿ равняется cⁿ, где показатель n – это целое число, большее 2). Этой великой международной эстафетной команде, финальный победный рывок которой великолепно выполнил Эндрю Уайлс (этот рывок занял у него восемь лет), в конце концов удалось доказать заявление Ферма многовековой давности с использованием удивительных техник, которые сочетали в себе идеи со всех уголков обширной карты современной математики.

Вследствие революционной работы этой команды открылись новые пути, от которых, похоже, пошли трещины по многим старым добрым дверям, включая накрепко закрытую дверь маленькой, но манящей загадки степеней Фибоначчи. И в самом деле, где-то через десять лет после доказательства Последней Теоремы Ферма трое математиков, используя техники Уайлса и других, смогли выделить точную причину, по которой куб 8 и квадрат 144 никогда не найдут себе приятеля, полную степень, среди членов рекурсивной последовательности Леонардо Пизанского (кроме 1). Пусть и крайне невразумительная, но причина бесконечного танца взаимного избегания была найдена. Это стало еще одним триумфом Кредо Математика – еще одна причина купить ворох акций у концепции, гласящей, что в математике где есть паттерн, там есть причина.

Крошечная искра в мозгу Гёделя

Теперь вернемся к истории Курта Гёделя и к его встрече с могущественной идеей, что все виды бесконечных классов чисел могут быть определены через разнообразные рекурсивные правила[18]. Образ бесконечной структуры или паттерна, который органически вырастает из конечного набора начальных семян, вызывал у Гёделя куда больше, чем просто любопытство; он напомнил ему о том, что теоремы ПМ (как и теоремы в «Началах» Евклида) всегда вырастали (следуя формальным правилам вывода) из более ранних теорем ПМ, за исключением нескольких первых теорем, которые были объявлены теоремами напрямую и потому назывались «аксиомами» (и были аналогами семян).

Другими словами, в тщательной аналогии, вспыхнувшей в сознании Гёделя от искры этого смутного сходства, аксиомы ПМ играли роль семян Фибоначчи 1 и 2, а правила вывода ПМ играли роль сложения двух последних чисел. Главным отличием было то, что в ПМ было не одно, а несколько правил вывода, поэтому на каждом этапе имелся выбор, что делать дальше, и, более того, не обязательно было применять выбранное правило к последней порожденной теореме (теоремам), что предоставляло еще больший выбор. Но, не считая дополнительных степеней свободы, аналогия Гёделя была подогнана очень точно и оказалась чрезвычайно плодородной.

Умные правила насыщают символы смыслом

Я должен подчеркнуть, что каждое правило вывода в формальной системе вроде ПМ не только ведет от одной или более начальных формул к конечным формулам, но это происходит исключительно типографскими средствами – то есть исключительно механической перестановкой символов, для которой не требуется ни единой мысли о значении символов. С точки зрения человека (или машины), который следует правилам с целью произвести теоремы, символы с тем же успехом могут быть совершенно лишены смысла.

С другой стороны, каждое правило должно быть продумано достаточно тщательно для того, чтобы из истинных входных формул на выходе также получалась истинная формула. Так что проектировщик формул (в данном случае Рассел и Уайтхед) должен был думать о предполагаемых значениях символов, чтобы быть уверенным, что правило сработает совершенно четко для оператора (не важно, человека или нет), который не думает о предполагаемых значениях символов.

В качестве простого примера возьмем символ «ν», который, как предполагается, обозначает понятие «или». Тогда возможное правило вывода выглядит так:

Из любой формулы «P ν Q» можно вывести перевернутую формулу «Q ν P».

Это правило вывода обоснованно, так как если «или-высказывание» (вроде: «Я сошел с ума, или вы сошли с ума») истинно, то истинно и перевернутое «или-высказывание» («Вы сошли с ума, или я сошел с ума»).