Я – странная петля

Этот почти-но-не-совсем-циклический способ задания числовой последовательности через самое себя называется рекурсивным определением. Это означает, что есть некое строгое вычислительное правило для создания новых элементов из предыдущих. Это правило может включать сложение, умножение, деление, что угодно – лишь бы оно было задано как следует. Первый шаг рекурсивной последовательности (в этом случае числа 1 и 2) можно представить как мешочек семян, из которых заранее определенным образом, основанным на заданном правиле, вырастает гигантское растение – со всеми его бесчисленными ветвями и листьями.

Каспийские самоцветы: аллегория

Последовательность Леонардо Пизанского до краев наполнена удивительными закономерностями, но, к сожалению, углубившись в это, мы сильно собьемся с курса. И все же я не могу сдержаться и не упомянуть, что из этого списка нескольких первых чисел F в глаза бросается 144, как ярко выраженный полный квадрат. Не считая числа 8, которое является кубом, и числа 1, которое довольно вырожденный случай, никакой другой полный квадрат или куб, никакая другая степень не появляются среди первых нескольких сотен членов последовательности F.

Несколько десятков лет назад люди стали задаваться вопросом, появились ли 8 и 144 в последовательности F согласно какой-то причине или это было «просто случайностью». Со временем вычислительные средства становились все более мощными, и поиски возложили на них. Весьма любопытно, что даже с возникновением суперкомпьютеров, которые позволяли выдавать миллионы и миллиарды чисел F, никто и никогда не обнаружил других полных степеней в последовательности Фибоначчи. Шанс, что вскоре в последовательности F появится какая-то степень, был призрачным, но почему бы числам F и степеням совершенно избегать друг друга? Какое отношение n-ные степени с произвольным n имели к сложению пар чисел по особому рекурсивному правилу Фибоначчи? Разве не могут 8 и 144 быть просто случайным сбоем? Почему других сбоев было не видно?

Представим это в аллегорическом свете. Вообразите, что однажды кому-то удалось вытащить со дна великого зеленого Каспийского моря в Центральной Азии огромный бриллиант, великолепный рубин и крошечную жемчужину, и прочие охотники за удачей, воодушевленные этими поразительными находками, стали неистово вычерпывать дно самого большого в мире озера в поисках бриллиантов, рубинов, жемчуга, изумрудов, топазов и т. д., но, сколько бы ни черпали, так ничего и не нашли. Естественно было бы гадать, нет ли там, внизу, других самоцветов, но как узнать наверняка? (Оговорка: в моей аллегории есть небольшой изъян, поскольку мы можем вообразить, хотя бы в теории, что хорошо профинансированная научная группа однажды полностью вычерпает дно озера, поскольку оно конечно, хоть и огромно. Чтобы аналогия стала «идеальной», нам нужно представить, что Каспийское море бесконечно. Раздвинь границы своего воображения, читатель!)

Теперь поворот. Предположим, один геолог с математическим складом ума вознамерился доказать, что два изысканных каспийских камня плюс крошечная круглая жемчужина были уникальны – иначе говоря, что по определенной причине ни одного самоцвета и ни одной жемчужины любого размера и вида нельзя, невозможно больше достать из Каспийского моря. Есть ли смысл в том, чтобы искать такое доказательство? Откуда может взяться неопровержимая научная причина, полностью исключающая возможность найти самоцветы – не считая одной жемчужины, одного рубина и одного бриллианта – на дне Каспийского моря? Звучит абсурдно.

В нашем типичном представлении физический мир наполнен непредвиденными событиями, обстоятельствами, которые могли сложиться иначе, ситуациями, у которых нет фундаментальных причин на то, чтобы быть именно таковыми. Но позвольте напомнить, что математики видят свой первозданный, абстрактный мир полной противоположностью случайного, наполненного неопределенностями физического мира, в котором мы все обитаем. Вещи, которые случаются в математическом мире, кажутся математикам происходящими по причинам, которые можно выявить и понять, без исключений.

Этот образ мышления – Кредо Математика – вам необходимо принять и освоить, если вы хотите понять, как думают математики. В нашем конкретном случае загадка о нехватке степеней у Фибоначчи, пусть и незначительная в глазах большинства математиков, особенно сбивала с толку, поскольку к ней, казалось, было неоткуда подступиться. Два вовлеченных в нее явления – целые степени с произвольными показателями с одной стороны, числа Фибоначчи с другой – выглядели попросту (как и драгоценности в Каспийском море) слишком далекими друг от друга, чтобы иметь какую-то глубокую, систематическую, неизбежную взаимосвязь.