Я – странная петля

Если понимание, почему не существует последнего простого числа (в противовес простому знанию, что это так), для вас оказалось новым опытом, надеюсь, вам удалось насладиться им так же, как кусочком шоколада или музыкальной пьесой. И, как и в случае с ними, вы можете возвращаться и погружаться в этот опыт много раз, каждый раз находя его освежающим. Более того, это доказательство служит богатым источником для других доказательств – Вариаций на Тему Евклида (хоть мы и не будем здесь их изучать).

Кредо Математика

Мы только что вблизи рассмотрели очаровательный пример того, что я называю «Кредо Математика», под которым я подразумеваю следующее:

X истинно, поскольку существует доказательство X;

X истинно, и потому существует доказательство X.

Обратите внимание, это работает в обе стороны. Первая половина Кредо заявляет, что доказательства являются гарантами истинности, а вторая половина заявляет, что где есть закономерность, там есть причина. Конечно, мы сами можем и не разоблачить эти скрытые причины, но мы твердо и несомненно убеждены, что они существуют и в теории могут однажды быть кем-то обнаружены.

Усомниться в любой из половин Кредо для математика немыслимо. Усомниться в первой половине означало бы вообразить, что доказанное утверждение все же может быть ложным, что высмеивало бы саму идею «доказательства», а усомниться во второй строке означало бы вообразить, что внутри математики могут существовать идеальные, не допускающие исключений паттерны, которые продолжаются вечно, не следуя при этом никакому ритму, не имея на это никаких причин. Для математиков идея безупречной, но беспричинной структуры не имеет никакого смысла. В этом отношении все математики – родня Альберта Эйнштейна, который, как известно, заявил, что «Бог не играет в кости». Эйнштейн имел в виду, что в природе ничто не происходит без причины, а для математиков это значит, что всегда существует единая, основная причина – непоколебимый символ их веры.

Бесконечных совпадений не бывает

Вернемся теперь к простым числам Класса A против Класса B, поскольку мы еще не совершили наше открытие, еще не испытали мистическую дрожь, о которой я говорил. Освежу вашу память: мы заметили, что каждая строка характеризуется разностями вида 4n – то есть 4, 8, 12 и так далее. Мы не доказали этот факт, но мы наблюдали его достаточно часто, чтобы построить гипотезу.

Нижняя строка нашего представления начинается с 3, так что наша гипотеза будет предполагать, что все остальные числа в строке получаются путем сложения 3 с числами, кратными 4, и, следовательно, каждое число в этой строке можно представить в виде 4n + 3. Аналогично (если мы игнорируем неподходящую 2 вначале), первое число в верхней строке – это 5, то есть если наша гипотеза верна, каждое последующее число в этой строке можно представить как 4n + 1.

Ладно, ладно – наша гипотеза предполагает достаточно незатейливую модель: простые числа вида 4n + 1 могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, тогда как простые числа вида 4n + 3 не могут. Если эта догадка верна, она устанавливает прекрасную, эффектную связь между простыми числами и квадратами, застающую нас врасплох (ведь эти два класса чисел на первый взгляд выглядят абсолютно не связанными друг с другом). Это искра чистой магии – той магии, ради которой и живут математики.

И все же для математика эта вспышка радости является лишь началом истории. Это как расследование убийства: мы нашли тело, но кто виноват? Всегда должно быть объяснение. Понять или найти его может быть непросто, но оно должно быть.

Теперь мы знаем (или, по крайней мере, всерьез подозреваем) наличие прекрасного бесконечного паттерна, но в чем причина? Краеугольное предположение о наличии причины заключается в том, что наш паттерн далек от «бесконечного совпадения», что он происходит по единственной веской, основополагающей причине; что за всеми этими «независимыми» фактами лежит один-единственный феномен.

Оказывается, что в промелькнувшем перед нами паттерне скрыто куда больше. Не только все простые числа вида 4n + 3 никогда не раскладываются в сумму двух квадратов (доказать это легко), но также оказывается, что любое простое число вида 4n + 1 можно представить в виде одной и только одной суммы квадратов. Возьмем, к примеру, 101. Число 101 не только равняется 100 + 1, но нет никакой другой суммы квадратов, которая давала бы в результате 101. Наконец, оказывается, что в пределе чем дальше мы продвигаемся, тем ближе к 1 становится отношение количества чисел в Классе A к количеству чисел в Классе B. Это означает, что изящный баланс, который мы наблюдали у простых чисел до 100 и предположительно продлили до бесконечности, строго доказуем.