Я – странная петля

Если бы оно существовало, P было бы поистине важным и интересным числом, но если вы посмотрите на длинный список последовательно идущих простых чисел (список выше из простых чисел до 100 дает некоторое представление), вы увидите, что, хотя их ритм слегка «ухабистый», со странными пробелами тут и там, эти пробелы между простыми числами всегда довольно малы по сравнению с самими числами. Учитывая эту весьма явную тенденцию, если бы простые числа внезапно закончились, было бы ощущение, что мы безо всяких предупреждений свалились с края Земли. Это было бы огромным потрясением. И все же, откуда нам знать, что этого не случится? И можем ли мы это узнать? Здорово обнаруживать при помощи компьютера, что новые простые числа продолжают появляться вплоть до миллиардов и триллионов, но это не дает железной гарантии, что они просто не прекратятся вдруг где-то чуть дальше. Нам нужно полагаться на логические рассуждения, чтобы добраться туда: хотя конечный набор свидетельств может наводить на вполне определенные догадки, на него попросту нельзя положиться, поскольку бесконечность сильно отличается от любого конечного числа.

Бороздя океан простых чисел и срываясь с его края

Вы, вероятно, где-нибудь видели Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел, но если нет, вы пропустили один из важнейших столпов человеческого знания за все времена. Подобный пробел в жизненном опыте можно сравнить с тем, как если бы вы никогда не пробовали шоколад или не слышали ни одной музыкальной пьесы. Я не могу потерпеть такого серьезного пробела в знаниях моих читателей, так что рискнем!

Предположим, что P, Великое Последнее Простое Число на Свете, существует, и посмотрим, к чему приведет это предположение. Если P существует, то это значит, что есть Конечный Закрытый Клуб Всех Простых, в котором P является знаменитым, венценосным, завершающим членом. Что ж, давайте просто возьмем и перемножим все простые числа Закрытого Клуба, чтобы получить восхитительно огромное число под названием Q. Это число Q, таким образом, делится на 2, а также на 3, 5, 7, 11 и так далее. Q по определению делится на каждое простое число из Клуба, а значит, на каждое простое число во Вселенной! А теперь, в качестве радостного последнего штриха, как в день рождения, добавим одну свечку на вырост, получив Q + 1. Итак, у нас есть громадное число, которое, мы уверены, не простое, поскольку P (которое, очевидно, осталось позади числа Q) наше Великое Последнее Простое, самое большое простое число из всех. Все числа после P являются, по нашему изначальному предположению, составными. Отсюда Q + 1, значительно превосходящее P и потому составное, обязано иметь какой-нибудь простой делитель. (Запомните это, пожалуйста.)

Каким может быть этот простой делитель? Это точно не 2, поскольку на 2 делится Q, которое лишь на ступеньку ниже Q + 1, а два четных числа никогда не находятся на единичном расстоянии друг от друга. Им также не может быть 3, поскольку на 3 число Q делится тоже, а числа, кратные 3, не бывают соседями! В общем, какое бы простое число p из Клуба мы ни выбрали, мы обнаружим, что p не является делителем Q + 1, поскольку на p делится его сосед снизу, число Q (а кратные p числа никогда не соседствуют друг с другом – они встречаются только через каждые p чисел). Таким образом, рассуждения показали, что ни один из членов Конечного Закрытого Клуба Всех Простых не является делителем Q + 1.

Но чуть выше я заметил (и попросил вас запомнить), что Q + 1, будучи составным, обязано иметь простой делитель. Провал! Мы оказались в ловушке, сами себя загнали в угол. Мы состряпали безумное число – число, которое, с одной стороны, должно быть составным (т. е. иметь младший простой делитель) и все же, с другой стороны, не имеет младшего простого делителя. Противоречие возникло из нашего предположения, что существует Конечный Закрытый Клуб Простых, увенчанный славным числом P, так что у нас нет выбора, кроме как вернуться и разрушить эту любопытную, но сомнительную мечту.

Не может существовать «Великое Последнее Простое на Свете»; не может существовать «Конечный Закрытый Клуб Всех Простых». Это выдумка. Истина, как мы только что показали, в том, что список простых продолжается бесконечно. Мы никогда-никогда не «свалимся с края Земли», как бы далеко ни продвинулись. В этом мы сейчас убедились благодаря безупречным рассуждениям, и никакое конечное количество вычислительных плаваний по числовым морям не могло бы убедить нас подобным образом.