Я – странная петля

Концептуальная параллель между рекурсивно определенной последовательностью целых чисел и скачкообразно созданным множеством теорем ПМ (или, если на то пошло, любой формальной системы, в которой есть аксиомы в качестве семян и правила вывода в качестве механизмов роста) навела Гёделя на мысль, что типографские паттерны символов на страницах «Принципов математики» – то есть жесткие логические выводы новых теорем из предыдущих – могут таким же образом как-то «отражаться» в мире чисел. Внутренний голос сказал ему, что эта связь была не просто смутным сходством, а имела все шансы превратиться в абсолютно точное соответствие.

Если говорить подробнее, Гёдель вообразил множество целых чисел, которые органически вырастали одно из другого при помощи арифметических операций, почти как числа Фибоначчи F, но которые также однозначным образом соответствовали множеству теорем ПМ. Например, если вы получили теорему Z из теорем X и Y, использовав типографское правило R5, и если вы получили число z из чисел x и y, использовав вычислительное правило r5, то все сходится. То есть если x был числом, соответствующим теореме X, а y был числом, соответствующим теореме Y, то z «чудесным образом» окажется числом, соответствующим теореме Z. Так образуется полная синхронность; две стороны (типографская и числовая) будут двигаться друг с другом в ногу. Сперва предвидение этой чудесной синхронности было лишь маленькой искрой, но Гёдель быстро осознал, что его новорожденная мечта может стать настолько проработанной, что ею можно будет поделиться с другими, и начал настойчиво преследовать ее.

Перескакивая между формулами и очень большими числами

Чтобы превратить свое интуитивное ощущение в серьезную, проработанную и уважаемую идею, Гёдель сперва должен был разобраться, как строка символов ПМ (безотносительно того, утверждает она истину или ложь, даже если это просто случайный винегрет из символов, набранных наобум) может систематически конвертироваться в целое число, и наоборот, как это целое число может быть «расшифровано» и выдать строку, из которой оно изначально получилось. Первый этап мечты Гёделя – систематическое отображение, по которому каждая формула получала бы числовое «имя», – был следующим.

Базовый алфавит ПМ состоял всего лишь из дюжины символов (остальные символы были введены позже, но все они были заданы в терминах нескольких исходных, так что концептуально не были необходимы), и к каждому из этих символов Гёдель прикрепил уникальное маленькое целое число (выбор этих нескольких исходных чисел был достаточно произвольным – правда, совершенно не важно, какому числу был сопоставлен каждый отдельный символ).

Идея была в том, чтобы в многосимвольных формулах (кстати говоря, в этой книге термины «строка символов» – для краткости «строка» – и «формула» синонимичны) один за другим, слева направо, заменить символы на их кодовые номера, а затем объединить все эти отдельные кодовые номера (используя их в качестве показателей степени, в которые возводятся последовательно идущие простые числа) в одно уникальное большое число. Таким образом, благодаря номерам, прикрепленным к отдельным символам, номер, прикрепленный к строке, уже не был случайным.

Например, предположим, что (произвольный) кодовый номер для символа «0» это 2, а кодовый номер для символа «=» это 6. Тогда для трех символов в очень простой формуле «0 = 0» кодовые номера будут 2, 6, 2, и эти три номера используются как показатели степени для трех первых простых чисел (2, 3 и 5) следующим образом:

2²·3⁶·5² = 72 900.

Так мы узнаем, что 72 900 является единственным числом, соответствующим формуле «0 = 0». Разумеется, это довольно большое число для такой короткой формулы, и вы легко можете себе представить, что пятидесятисимвольной формуле соответствует число и вовсе астрономическое, поскольку оно подразумевает возведение первых пятидесяти простых чисел в разные степени, а затем перемножение всех этих больших чисел между собой, что порождает настоящего колосса. Но это не важно – числа есть числа, как бы велики они ни были. (К счастью для Гёделя, простых чисел бесконечно много, ведь если бы их было только, скажем, миллиард штук, его метод позволил бы ему закодировать лишь формулы, составленные не более чем из миллиарда символов. Вот это был бы настоящий удар!)

Процесс декодирования заключается в разложении числа 72 900 на простые множители (единственно возможным образом) и считывании показателей степени в порядке возрастания простых оснований – в нашем случае 2, 6, 2.