Я – странная петля

Впрочем, если какой-нибудь другой клуб определен рекурсивным правилом, в котором числа на выходе иногда больше, чем на входе, а иногда меньше, тогда, в отличие от простого случая с клубом F, вы не можете быть уверены, что никогда не вернетесь и не повстречаете меньшие числа, которые пропустили на предыдущих шагах.

Давайте еще немного подумаем о рекурсивно определенном клубе чисел, который мы называем числами ППФ. Мы видели, что число 72 900 обладает «ППФ-ностью», и, если вы подумаете немного, вы поймете, что 576 и 2916 этим свойством не обладают. (Почему? Что ж, если вы разложите их на множители и посмотрите на степени 2 и 3, вы увидите, что эти числа являются численным кодом для строк «0=» и «=0» соответственно, ни одна из которых не имеет смысла, и потому правильно построенными формулами они не являются.) Другими словами, несмотря на странное определение, ППФ-ность, не в большей и не в меньшей степени, чем квадратность, простота или F-ность Фибоначчи, является полноправным объектом для изучения в мире чисел. Теоретико-числовое различие между членами и не-членами «клуба ППФ» так же подлинно, как и для клуба квадратов, клуба простых чисел или клуба чисел F, поскольку числа ППФ определяемы в рекурсивной арифметической (т. е. вычислительной) манере. Более того, получается, что рекурсивные правила определения ППФ-ности всегда производят результат больший, чем исходное число, так что ППФ-ность разделяет с F-ностью это простое свойство – однажды превзойдя определенную величину, вы можете быть уверены, что уже никогда не вернетесь навестить эту область.

Как любопытство некоторых людей разжигало то, что они замечали квадрат в рекурсивно определенной последовательности Фибоначчи, так некоторых людей может заинтересовать вопрос о том, есть ли квадраты (кубы и т. д.) в рекурсивно определенной последовательности чисел ППФ. Они могут провести много времени, расследуя подобные чисто теоретико-числовые вопросы, ни разу не задумавшись о соответствующих им формулах «Принципов математики».

Можно не иметь никакого представления о том, что гёделевские числа ППФ берут свои истоки в правилах определения правильнопостроенности, сформулированных в «Принципах математики», точно так же, как можно изучать законы вероятностей, даже не подозревая, что изначально эта обширная ветвь математики была создана для анализа азартных игр. То, что когда-то кого-то сподвигло сочинить некое специфическое рекурсивное определение, очевидно, не влияет на числа, которые это определение задает; важно лишь то, что должен существовать чисто вычислительный способ, как вырастить любого члена клуба из начальных семян, применяя правила некоторое конечное количество раз.

Итак, числа ППФ, похоже, относительно просто определить рекурсивным способом, и по неким причинам ППФ-ность (в точности как и F-ность) является разновидностью математических сущностей, для изучения которых были созданы «Принципы математики». Уайтхед и Рассел уж точно никогда не мечтали о том, что их механическая система рассуждений cможет применяться таким причудливым образом, что ее свойства как машины подвергнутся ее собственному наблюдению, как если бы мы использовали микроскоп, чтобы изучить его собственные линзы на предмет возможных дефектов. Впрочем, изобретения часто удивляют своих изобретателей.

Принципиальные числа

Осознав, что в теории один из томов Уайтхеда и Рассела мог бы определить и систематически исследовать разнообразные численные свойства чисел ППФ, Гёдель продолжил аналогию и, использовав немало изощренных, но при этом концептуально не слишком сложных алгоритмов, показал, что существует бесконечно более интересный рекурсивно определенный класс целых чисел, который я буду здесь называть принципиальными числами (неистово салютуя названию знаменитого трехтомника) и к которому относятся числа для доказуемых формул ПМ (т. е. теорем).

Доказательство в ПМ – это, разумеется, набор формул, составляющих весь путь от аксиом ПМ до нужной формулы, где каждый шаг возможен благодаря определенному правилу рассуждения, которые в ПМ становятся формальными типографскими правилами вывода. Для каждого типографского правила вывода, работающего на строках ПМ, Гёдель предоставил идеально соответствующее вычислительное правило, которое работало на числах. Численные методы чихать хотели на типографские манипуляции, дерзко заявляя: «Все, что вы умеете, я умею лучше!» Впрочем, не то чтобы лучше – но Гёдель, несомненно, показал: суть в том, что вычислительные правила всегда будут в точности совпадать – оставаться в полной синхронности – с любым формальным типографским правилом, так что численные правила были ровно настолько же хороши.