Я – странная петля

Что ж, допустим, вам хочется узнать, истинно или ложно высказывание X (например, знаменитое утверждение: «Любое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел» – которое, как я объявил выше, несмотря на почти трехвековые исследования, остается недоказанным и по сей день). Вы бы просто записали X в формальной нотации ПМ, затем механически перевели его в число Гёделя x и скормили бы это число Гёру (спросив таким образом, является ли x принципиальным). Конечно, x был бы огромным числом, так что Гёру потребовалось бы немало времени для того, чтобы дать ответ, но рано или поздно (подразумевая, что Гёру вас не дурачит) он выплюнет либо «да», либо «нет». Если Гёру сказал «да», вы узнаете, что x принципиальное число, а это будет означать, что зашифрованная в нем формула – доказуемая формула, что означает, что утверждение X истинно. И напротив, если Гёру ответит вам «нет», вы будете знать, что утверждение X недоказуемо, и потому, веруя в Кредо Математика (в версии «Принципов математики»), вы заключите, что оно ложно.

Другими словами, если бы у нас была машина, способная безупречно отличать принципиальные числа от «нахальных» (не принципиальных), приняв на веру справедливость Кредо Математика в версии «Принципов математики», мы могли бы безупречно отличать истинные утверждения от ложных. Короче говоря, наличие Гёру дало бы нам королевский ключ ко всем математическим знаниям.

Да и сами принципиальные числа, кажется, скрытым образом заключали бы в себе все математические знания! Никакая другая последовательность чисел, придуманная кем-то до Гёделя, не обладала подобным магическим прорицательным свойством. Каждое из этих невероятных чисел, кажется, буквально на вес золота! Но, как я уже говорил, принципиальные числа иллюзорны, поскольку маленькие числа порой присоединяются к клубу на очень поздних порах, так что отличить принципиальные числа от «нахальных» непросто, не говоря о том, чтобы построить Гёру. (Это должно послужить предвестником грядущих событий.)

Гёделевская странность

Наконец, Гёдель привел свою аналогию к неизбежному, эпохальному выводу, который заключался в том, что он продиктовал своим читателям (не посимвольно, конечно, а при помощи точного набора «инструкций по сборке») астрономически длинную формулу ПМ, которая делала с виду невинное заявление: «Определенное целое число g не является принципиальным числом». Однако это «определенное целое g», о котором говорилось в формуле, оказалось, по совершенно неслучайному (кто-то сказал бы, дьявольскому) стечению обстоятельств, числом (т. е. кодом), соответствующим этой самой формуле (число это, конечно же, было исполинским). Как мы скоро увидим, странную формулу Гёделя можно было интерпретировать на двух разных уровнях, и в зависимости от интерпретации она имела два очень различных значения.

На более буквальном уровне формула Гёделя всего лишь утверждает, что это исполинское число g не наделено теоретико-числовым свойством под названием принципиальность. Это заявление очень похоже на заявление, что «79 200 не является простым числом», хотя стоит отметить, что g гораздо больше, чем 79 200, а принципиальность куда более тернистое свойство, чем простота. Однако, раз принципиальность была определена Гёделем так, чтобы она численно отражала доказуемость строк с помощью правил системы ПМ, формула также заявляет:

Формула, которой случилось иметь в качестве кода число g, недоказуема при помощи правил «Принципов математики».

Теперь, как я только что сказал, формула, которой «случилось» иметь в качестве кода число g, это формула, которая делает вышеописанное заявление. Короче говоря, формула Гёделя делает заявление о самой себе – а именно, следующее:

Эта формула не доказуема при помощи правил ПМ.

Порой вторая формулировка специально подается в виде «Я не теорема» или еще более сжато:

Я недоказуема

(внутри системы ПМ, это здесь подразумевается негласно).

Дальше Гёдель показал, что эта его формула, на первый взгляд очень странная и смущающая, была не такой уж и необычной; в самом деле, это был лишь один элемент бесконечного семейства формул, которые делали заявления о ПМ, многие из которых делали (некоторые истинно, некоторые ложно) схожие странные и уклончивые утверждения о себе (например, «Ни я, ни мое отрицание не являются теоремами ПМ», «Если я доказуема внутри ПМ, то доказательство моего отрицания короче, чем мое», и так далее, и тому подобное).