Я – странная петля

Молодой Курт Гёдель – в 1931 году ему было всего лишь 25 лет – обнаружил целое море поразительно неожиданных, до странности уклончивых формул, спрятанных внутри строгого, формального, защищенного теорией типов и оттого предположительно свободного от парадоксов мира, описанного Расселом и Уайтхедом в грандиозном трехтомном труде «Принципы математики», и многие контринтуитивные свойства оригинальной формулы Гёделя и ее бесчисленных родственников занимают математиков, логиков и философов с тех пор и по сей день.

Как засунуть в формулу число Гёделя для этой формулы

Говоря о великолепных достижениях Гёделя, я не могу обойти один небольшой технический нюанс, поскольку, если я так поступлю, некоторые читатели точно останутся сбиты с толку, а то и скептично настроены к ключевому аспекту работы Гёделя. Более того, эта идея вообще-то довольно магическая, так что ее стоит вкратце упомянуть.

Вот этот зудящий вопрос: как вообще Гёдель сумел поместить число Гёделя для формулы в саму эту формулу? На первый взгляд может показаться, что это как пытаться втиснуть слона в спичечный коробок – и в некотором роде это совершенно так и есть. Ни одна формула не может буквально содержать в себе число, соответствующее ее числу Гёделя, поскольку это число содержит куда больше символов, чем сама формула! Сперва это может выглядеть как фатальное препятствие, но оказывается, что это не так – и если вы мысленно вернетесь к нашей дискуссии о парадоксе Дж. Дж. Берри, возможно, вы увидите почему.

Фокус строится на простом факте, что некоторые огромные числа имеют очень короткие описания (например, число 387 420 489 можно описать всего пятью слогами: «девять в девятой»). Если у вас есть очень короткий рецепт вычисления числа Гёделя для очень длинной формулы, то вместо того, чтобы описывать это огромное число самым медленным и неуклюжим путем («тот, кто следует за тем, кто следует за тем, кто… следует за тем, кто следует за нулем»), вы можете описать его коротким вычислительным путем, и если вы подставите в формулу в виде символов этот путь (а не само число), то вам удастся заставить формулу говорить о себе самой, не запихивая слона в коробок. Я не буду пытаться объяснить это в математических терминах, вместо этого я представлю элегантную лингвистическую аналогию в стиле философа У. В. О. Куайна, которая доносит суть.

Фокус Гёделя «слон в спичечном коробке» через аналогию Куайна

Предположим, вы захотели написать предложение, которое говорит о себе, не используя словосочетание «это предложение». Возможно, вы найдете эту задачку довольно затейливой, поскольку вам придется буквально описать предложение внутри его самого, цитируя слова и словосочетания. Например, рассмотрим вот такую первую (довольно жалкую) попытку:

В предложении «В этом предложении пять слов» пять слов.

То, что я только что написал (а вы только что прочитали), является верным высказыванием, только, увы, оно не говорит о себе. В итоге все целиком содержит девять слов, а также немного кавычек. Это предложение говорит о более коротком предложении, включенном в него при помощи кавычек. Замена «пяти» на «девять» тоже не поможет ему обратиться к себе; это простое действие лишь превратит мое истинное высказывание в ложное. Вот взгляните:

В предложении «В этом предложении девять слов» девять слов.

Это высказывание ложно. И что более важно, оно все еще говорит лишь о более коротком предложении, заключенном внутри его. Как видите, пока мы не особо приблизились к тому, чтобы разработать предложение, говорящее о себе самом.

Что бы я ни заключил в кавычки, проблема в том, что оно все равно будет короче, чем целое предложение, частью которого оно является. Это совершенно очевидно, и, по сути, это полный лингвистический аналог нашего камня преткновения – попыток засунуть в формулу ее собственное число Гёделя. Слон не влезет в коробок! С другой стороны, ДНК слона с легкостью в него влезет…

В самом деле, раз ДНК является описанием слона, а не самим слоном, значит, возможно обойти препятствие, используя описание огромного числа, а не само необъятное число. (Точнее говоря, мы можем использовать емкое символьное описание вместо необъятного численного.) Гёдель обнаружил этот фокус, и хотя он довольно хитрый, аналогия Куайна позволяет достаточно легко его понять. Взгляните на следующий фрагмент предложения, который я называю «Квазитайна Куайна»:

поставленное впереди себя самого в кавычках, образует целое предложение.