Я – странная петля

Пока вы размышляете об этом, я вернусь к тому, с чего все началось – то есть к ПМ-формуле Гёделя, которая говорит о самой себе. Суть в том, что числа Гёделя совершенно аналогичны фразам в кавычках, поскольку они могут как служить именем формулы, так и быть вставленными в формулу. А мы только что увидели, что есть способ использовать кавычки и фрагменты предложений, чтобы создать полное предложение, которое говорит о себе (или, если угодно, предложение, которое говорит о другом предложении, которое является его клоном, поэтому что верно для одного, то верно и для другого).

Аналогичным образом Гёдель создал «фрагмент формулы без подлежащего» (я имею в виду формулу ПМ, которая касается не какого-то конкретного целого числа, а некоего неопределенного переменного числа x). А затем, проделав шаг, аналогичный подстановке Квазитайны Куайна в саму себя (только в кавычках), он взял число Гёделя k для этого фрагмента формулы (которое является конкретным числом, не переменной) и заменил им переменную x, получив таким образом формулу (а не ее фрагмент), которая делает заявление о значительно большем целом числе, g. А g – число Гёделя для этого самого заявления. И, наконец, это заявление было не о том, является ли подлежащая рассмотрению сущность полным предложением, а о том, является ли подлежащая рассмотрению сущность доказуемой формулой.

Слон в спичечном коробке – ни рыба ни мясо

Я знаю, тут больше, чем можно проглотить за один раз, так что если вам понадобится несколько глотков (внимательных прочтений), пожалуйста, не отчаивайтесь. Я знаю нескольких весьма просвещенных математиков, которые признают, что никогда до конца не понимали эти рассуждения!

Я думаю, на этом моменте будет полезно привести этакое смешанное предложение, которое передает дух самореферентной конструкции Гёделя, но делает это в терминах Куайна – то есть использует идеи, которые мы обсудили только что. Смешанное предложение выглядит так:

«если подать в нее ее собственное число Гёделя, выдаст не принципиальное число»,

если подать в нее ее собственное число Гёделя, выдаст не принципиальное число.

Предложение выше – ни рыба ни мясо, поскольку это не формула из «Принципов математики», а предложение на русском языке, так что у него, конечно, нет числа Гёделя и оно никак не может быть теоремой (или не-теоремой) ПМ. Какая сложная метафора!

И все же, какой бы сложной эта метафора ни была, она добросовестно выполняет свою задачу передать дух формулы ПМ, которую Гёдель создал на самом деле. Вам лишь нужно держать в уме, что использование кавычек – это метафора для вычисления числа Гёделя (k), а не фрагмент предложения в кавычках. Это означает, что метафорически в нижнюю строку (фрагмент предложения на русском) было подано ее собственное число Гёделя в качестве подлежащего. Очень мило!

Я знаю, что это все очень затейливо, так что позвольте рассказать еще раз, слегка на другой лад. Гёдель просит вас представить формулу, которую обозначает k (эта формула содержит переменную x), а затем подать в нее k (то есть заменить одну букву x на чрезвычайно длинное число k и так получить куда более длинную формулу, чем та, с которой вы начинали) и вычислить число Гёделя для результата. Это будет число g, большее, чем k, – и, наконец, Гёдель утверждает, что это выдающееся число не будет принципиальным. Если вы следили за движением моих рук в этом рассуждении, вы согласитесь, что число Гёделя для полной формулы (g) не находится явным образом внутри формулы, но очень изящно описано этой формулой. Мы использовали ДНК слона, чтобы сложить описание целого слона в спичечный коробок.

Слагго и девушка из «Мортон Солт»

Что же, я не хочу вдаваться в технические подробности. Главное – запомнить, что Гёдель разработал очень искусный трюк с описанием чисел – рецепт по изготовлению огромного числа g из не такого огромного числа k – с целью заставить формулу ПМ сделать заявление о непринципиальности своего собственного числа Гёделя (а это означает, что формула на самом деле делает заявление о собственной «не-теоремности»). А также вы можете попробовать запомнить, что «маленькое» число k – это число Гёделя для «фрагмента формулы», содержащей переменную x, по аналогии с фрагментом предложения без подлежащего, взятым в кавычки, в то время как большее число g – это число Гёделя для полного высказывания в нотации ПМ, по аналогии с полным предложением на русском языке.