Я – странная петля

И все же Рассел предусмотрительно замечал, что все его забавные узоры из подков, звездочек и закорючек при желании могли быть интерпретированы как утверждения о числах и их свойствах, поскольку можно заставить прочитать бессмысленное вытянутое яйцо «0» как число ноль, в той же степени бессмысленный крест «+» как сложение и так далее, и в таком случае все теоремы ПМ становятся утверждениями о числах – а не просто пустой болтовней о них. Представьте, каким ударом было бы для Рассела увидеть узор из закорючек «ss0 + ss0 = sssss0» среди теорем ПМ! Для него это было бы полнейшей катастрофой. Поэтому он был вынужден признать, что в его мутноватом труде был смысл (иначе зачем бы он потратил столько лет своей жизни, работая над ним, и зачем бы ему заботиться о том, какие строки являются теоремами?) – но этот смысл зависел от того, какое отображение используется для связи фигур на бумаге с абстрактными величинами (например, ноль, один, два…), операциями (например, сложение), отношениями (например, равенство), логическими понятиями (например, «не», «и», «существует», «для всех») и так далее.

Зависимость Рассела от систематических отображений, привносящих смыслы в его крепость из символов, довольно красноречива, поскольку открытие юного турка Гёделя было попросту другим систематическим отображением (надо сказать, куда более сложным), при помощи которого можно было найти другие смыслы в той же самой крепости. Иронично, что открытие Гёделя было весьма в расселовском духе.

На основании нового искусного кода Гёделя, который систематически отображал строки символов на числа и наоборот (вспомните также, что он отображал типографские правила перестановки на численные расчеты и наоборот), многие формулы можно было прочесть на втором уровне. Первый уровень смыслов, полученный прежним стандартным отображением, всегда был про числа, как Рассел и заявлял, но второй уровень смыслов, благодаря недавно обнаруженному отображению Гёделя (сидящий на закорках у первого отображения Рассела), был о формулах, и раз оба уровня зависели от отображений, новый уровень смыслов Гёделя был не менее реальным и не менее полноценным, чем исходный расселовский, – просто чуть более трудноуловимым.

Смыслы добавляются бесплатно благодаря тебе, аналогия!

За многие годы размышлений о том, что Гёдель сделал в 1931 году, именно его осознание истоков смысла – осознание, что благодаря отображениям полноценный смысл может возникнуть там, где его совершенно не ожидали, – всегда поражало меня сильнее всего. Я считаю это осознание столь же глубоким, сколь и простым. Однако я до странного редко слышал, если слышал вообще, чтобы об этой идее говорили в том ключе, который бы раскрывал глубину, которую я в этом вижу, так что в этой главе я решил попробовать принять этот вызов самостоятельно. Для этого я использую ряд примеров, которые начнутся достаточно тривиально, но по ходу дела прибавят в изяществе и, я надеюсь, в юморе тоже. Итак, поехали.

Стоя с другом в очереди в кафе, я вижу большой шоколадный торт на блюде за стойкой и прошу официанта положить мне кусок. Мой друг явно колеблется, но не поддается соблазну. Мы идем к столику, и, откусив кусочек, я говорю: «Господи, это ужасно невкусно». Я, конечно, имею в виду, что ужасен не только мой кусок, но и весь торт в целом, так что мой друг может счесть, что удержаться было мудрым (или удачным) решением. Бытовое наблюдение такого рода показывает, что мы неизбежно обобщаем вовне. Мы бессознательно думаем: «Этот кусок торта очень походит на весь остальной торт, так что утверждение о нем будет столь же применимо к любому другому куску». (Здесь подразумевается и еще одна аналогия о том, что восприятие еды у моего друга близко к моему, но оставим это.)