Я – странная петля

У поп-культуры вовсе нет иммунитета к прелестям самореференции, и случилось так, что две противопоставленные друг другу идеи – о формуле, содержащей ее собственное число Гёделя напрямую (что неизбежно повлечет бесконечное повторение), и о формуле, содержащей описание своего числа Гёделя (что изящно обходит бесконечное повторение), – можно проиллюстрировать двумя очаровательными картинками, которые многим читателям могут быть знакомы.

На первой картинке Слагго, персонаж Эрни Бушмиллера (из классического стрипа «Нэнси»), мечтает о себе, мечтающем о себе, мечтающем о себе, и так без конца. Это, очевидно, самореферентный случай, но он подразумевает бесконечное повторение, аналогичное формуле ПМ, содержащей свое собственное число Гёделя напрямую. Такая формула, к сожалению, должна была бы быть бесконечно длинной!

На второй картинке, напротив, знаменитая этикетка с банки соли «Мортон Солт» с изображением девушки, которая держит банку «Мортон Солт». Вы можете решить, что снова учуяли бесконечное повторение, но, если так, вы обманулись! Рука девушки закрывает то самое место, на котором возникло бы повторение. Если бы вы попросили девушку (пожалуйста) передать ее банку, чтобы вы все же увидели бесконечное повторение на этикетке, вас бы постигло разочарование, поскольку этикетка на этой банке изображала бы девушку, держащую еще меньшую банку, и ее рука все так же закрывала бы повтор.

И все же перед нами самореферентная картинка, поскольку покупатели в магазине поймут, что маленькая банка на этикетке точно такая же, как большая банка, которую они держат сами. Как они приходят к этому заключению? По аналогии. Если точнее, мало того, что они держат в руках большую банку, они также могут видеть маленькую банку, которую держит девушка, а у этих двух банок очень много общего (цилиндрическая форма, темно-синий цвет, белые донышки с обеих сторон); в случае, если этого недостаточно, они могут видеть соль, которая сыпется из маленькой банки. Этих улик достаточно, чтобы всех убедить в том, что маленькая и большая банки идентичны, и вот она: самореференция без бесконечных повторений!

В заключение этой главы я хочу особенно обратить внимание на то, что в самых емких переводах на русский язык формулы Гёделя и ее ближайших родственников употребляется слово «Я» («Я недоказуема в ПМ», «Я не теорема ПМ»). Это не совпадение. В самом деле, это неформальное, с виду почти небрежное использование личного местоимения первого лица единственного числа позволяет нам уловить первые намеки на глубокую связь между строгой математической странной петлей Гёделя и очень человеческим представлением об осознанной личности.

Глава 11. Как аналогия создает смысл

Двойное значение формул ПМ

Представьте, как был ошеломлен новоиспеченный рыцарь лорд Рассел, когда юным австрийским турком, названным Куртом, было напечатано заявление о том, что «Принципы математики» – мощная интеллектуальная крепость, усердно возведенная как оплот против ужасного бича самореференции, – на деле изрешечена формулами, которые, судя по всему, утверждают о себе всевозможные абсурдные и непостижимые вещи. Как вообще можно было допустить такой произвол? Как бессмысленное щебетание самореферентных утверждений сумело проскользнуть за толстый крепостной вал прекрасной и вечной Теории Разветвленных Типов? Этот австрийский выскочка-чародей наверняка навел какую-нибудь порчу, но каким образом он провернул свое черное дело?

Ответ скрывается в его классической статье – «О формально неразрешимых утверждениях “Принципов математики” и схожих систем (I)», – в которой Гёдель пересмотрел понятие смысла и заключил, что значение формул ПМ не так просто – не так недвусмысленно – как думал Рассел. Стоит отметить, что сам Рассел настаивал на том, что причудливым длинным формулам ПМ не был присущ тот или иной смысл. В самом деле, поскольку теоремы ПМ были наштампованы по формальным правилам, которые не обращали внимания на смысл, Рассел часто говорил, что весь его труд – это просто набор бессмысленных знаков (и, как вы видели в конце Главы 9, страницы «Принципов математики» часто выглядят скорее как экзотическое произведение искусства, нежели как математический труд).