Я – странная петля

В конечном счете, каждой доказуемой строке в формальной системе Рассела и Уайтхеда соответствовало принципиальное число. Каждое принципиальное целое число могло быть расшифровано в символы, и полученная вами строка являлась бы доказуемой-внутри-ПМ формулой. Аналогично, каждая доказуемая-внутри-ПМ формула могла быть зашифрована как одно вопиюще огромное число, и, богом клянусь, после достаточного количества вычислений вы могли показать, что полученное число – принципиальное. Простым примером принципиального числа вновь будет наш старый друг 72 900, поскольку формула «0 = 0» не только является правильно построенной формулой, но также, что не слишком удивительно, выводима внутри ПМ. (В самом деле, если бы это было не так, ПМ была бы чрезвычайно жалкой механической моделью математических рассуждений!)

Существует коренное различие между числами ППФ и принципиальными числами, которое происходит из того факта, что правила вывода в ПМ порой производят выходные строки, которые короче, чем входные. Это значит, что соответствующие арифметические правила, определяющие принципиальные числа, будут порой принимать большие принципиальные числа на вход и делать из них меньшие принципиальные числа на выходе. Поэтому однажды посещенные отрезки числовой оси всегда можно посетить повторно, и из-за этого гораздо, гораздо труднее установить, является данное целое число принципиальным или нет. Это основной и очень сокровенный факт о принципиальных числах.

Как и в случае с квадратами, простыми числами, числами F или ППФ, в теории мог бы существовать отдельный том из серии книг Уайтхеда и Рассела, в котором принципиальные числа были бы определены, а их математические свойства изучены. Например, этот том мог бы содержать доказательство формулы ПМ, которая (подвергнувшись тщательному изучению) утверждала бы, что «72 900 является принципиальным числом», а также в нем могла бы обсуждаться другая формула, которая, как видно, утверждает обратное («72 900 не является принципиальным числом»), и так далее. Последнее утверждение, разумеется, ложно, тогда как предыдущее истинно. И даже более сложные теоретико-числовые концепции, выраженные в нотации ПМ, могли бы обсуждаться в гипотетическом томе вроде: «Существует бесконечно много принципиальных чисел» – что было бы равносильно (по ее коду) утверждению: «Существует бесконечно много формул, которые доказуемы внутри ПМ».

Пусть это и покажется странным, но кто-то, безусловно, может задаться теоретико-числовым вопросом в стиле восемнадцатого века: «Какие целые числа можно выразить в виде суммы двух принципиальных чисел, а какие нет?» Вряд ли кто-то задаст такой эксцентричный вопрос всерьез, но дело в том, что свойство «принципиальности», хоть оно и достаточно «современно», ровно в той же степени является настоящим теоретико-числовым свойством целого числа, что и «классические» свойства вроде квадратности, простоты или вхождения в ряд чисел Фибоначчи.

Поразительные свойства принципиальных чисел

Допустим, кто-то сказал вам, что построил машину – я назову ее Гуру, – которая всегда будет давать верный ответ на вопрос вида: «Является ли n простым числом?», где n – любое целое число, какое захотите. После вопроса: «Является ли 641 простым?» – Гуру немного покрутит своими колесиками и затем ответит «да». Что до числа 642, Гуру, немного «подумав», ответит «нет». Думаю, такая машина не слишком бы вас удивила. То, что такую машину можно построить – не важно, на кремниевой плате или с применением технологии цепочек домино, – уже не поражает ничье воображение в нашу эпоху.

Но, допустим, кто-то сказал вам, что построил аналогичную машину – я назову ее «Гёру», – которая всегда будет давать верный ответ на вопрос вида: «Является ли n принципиальным числом?» Покажется ли вам это заявление – строго аналогичное предыдущему – настолько же банальным? Если да, я со всем уважением предоставляю к вашему размышлению новый вопрос.

Дело вот в чем. Если вы верите в надежность Гёру, а также верите в Кредо Математика (в версии «Принципов математики»), то вы можете заключить, что ваш маленький Гёру, работая сам по себе, может ответить на любой теоретико-числовой вопрос, который вас интересует, прямо как джинн, вызванный из волшебной лампы. Как же так? Что делает Гёру волшебным джинном?