Я – странная петля

В общем, таким неочевидным, но простым образом Гёдель нашел способ заменить любую формулу ПМ на эквивалентное ей число (которое люди вскоре окрестят числом Гёделя). Затем он распространил идею «арифметизации» также на произвольные последовательности формул, поскольку доказательства в ПМ – это последовательности формул, а он хотел работать с доказательствами, не только с формулами самими по себе. Таким образом, последовательность формул произвольной длины можно было преобразовать в одно большое целое число, используя, по сути, тот же прием с простыми числами и степенями. Подумайте только, какие это поистине огромные числа.

Короче говоря, Гёдель показал, как абсолютно любому визуальному символьному паттерну в специфической нотации «Принципов математики» могло быть сопоставлено уникальное число, которое могло быть легко декодировано и выдать обратно визуальный паттерн (т. е. последовательность символов), которому оно соответствовало. В том, чтобы придумать и довести до блеска это точное двустороннее отображение, которое теперь повсеместно называется «нумерацией Гёделя», и заключался первый, ключевой шаг работы Гёделя.

Очень большие числа идут в ногу с формулами

Следующий ключевой шаг заключался в том, чтобы создать рекурсивные описания в стиле Фибоначчи для специальных числовых множеств – так, чтобы целые числа органически вырастали из тех, что были сгенерированы раньше, при помощи сложения, умножения или более сложных вычислений. Одним из примеров будут числа ППФ – числа, которые в кодировке Гёделя представляют «правильно построенные» или «осмысленные» формулы ПМ, в отличие от тех, которые представляют бессмысленные или грамматически неверные строки. (Примером правильно построенной формулы, для краткости ППФ, служит «0 + 0 = = sss0». Хотя это утверждение ложно, оно все же осмысленно. С другой стороны, «=) 0 (=» и «00 = = 0 + =» не являются ППФ. Как и случайная последовательность псевдослов «ззип дуббивубби пизз», они ничего не утверждают.) Поскольку получается так, что более длинные ППФ в ПМ строятся из более коротких ППФ по нескольким простым и стандартным правилам непосредственного типографского сочленения, их длинные кодовые номера также могут быть построены из меньших кодовых номеров более коротких формул по нескольким простым и стандартным правилам численных расчетов.

Я сказал об этом довольно небрежно, но на самом деле этот шаг был, возможно, самым глубоким из ключевых осознаний Гёделя – а именно, что после «арифметизации» строки символов (присвоения ей ответной числовой части) для любого типографского перемешивания строк на бумаге можно было найти полную аналогию среди чисто арифметических вычислений, производящихся над их числовыми посредниками – которые были пусть и огромными, но все же просто числами. То, что для Рассела и Уайтхеда выглядело как тщательная перестановка символов, для Курта Гёделя больше было похоже на непосредственную обработку чисел (хотя он, конечно, не использовал такой современный термин, поскольку все это происходило в те доисторические дни, когда компьютеров еще не было). Это были просто два разных взгляда на происходящее – два взгляда, стопроцентно эквивалентные и взаимозаменяемые.

Намеки на то, как ПМ может обернуться и посмотреть на себя

Гёдель заметил, что игра, которая заключалась в построении бесконечного класса чисел вроде чисел ППФ путем рекурсии – то есть получение новых «членов клуба» путем соединения старых, ранее определенных членов с помощью некоего правила по обработке чисел – по сути своей ничем не отличалась от рекурсивной игры Фибоначчи, которая заключалась в построении класса чисел F путем складывания двух предыдущих членов. Конечно, рекурсивный процесс мог быть куда более сложным, чем просто вычисление суммы двух последних членов клуба.

Любое рекурсивное определение, пусть и неявно, разделяет множество всех целых чисел на членов и не-членов клуба – то есть на те числа, которые рано или поздно достижимы с помощью рекурсивного процесса построения, и на те, которые не достижимы никогда, сколько бы мы ни ждали. Так, 34 является членом клуба F, тогда как 35 им не является. Откуда мы знаем, что 35 не является числом F? Очень просто – правило, по которому создаются новые числа F, всегда создает большие числа из меньших, так что, когда мы переступаем определенную величину, нет никаких шансов, что мы вернемся к ней и «подберем» другие числа поблизости. Иными словами, получив числа F 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, мы уже знаем, что они единственные в этом диапазоне, так что, очевидно, 35, 36 и так далее до 54, не являются числами F.