Я – странная петля

Читатель может решить, что странная петля непременно обладает саморазрушительным или самоотрицающим качеством («Эта формула недоказуема»; «Эта строка ненаписуема»; «Вы не должны присутствовать на этой постановке»). Однако отрицание не играет существенной роли в странной петельности. Странность просто становится более пикантной или смешной, если петля обладает саморазрушительным качеством. Вспомните «Рисующие руки» Эшера. В них нет отрицания – обе руки рисуют. Представьте, если бы одна стирала другую!

В этой книге странность петли происходит единственно из того, каким образом система может «поглотить» себя путем внезапного перекручивания, грубо нарушая то, что мы приняли за нерушимый иерархический порядок. В обоих случаях – и с «Принцем Хиппией, или Мате-драматикой», и с «Принципами математики» – мы увидели, что система, заботливо созданная для того, чтобы говорить только о числах и не говорить о себе, все равно в итоге говорит о себе «скрытным» образом – и это происходит исключительно по причине изменчивой природы чисел, которая так богата и сложна, что эта гибкость позволяет числовым закономерностям отражать совершенно любой другой паттерн.

Ровно настолько же странная петля, хоть и чуть менее драматичная, появилась бы, если бы Гёдель состряпал самоподтверждающую формулу, которая бы задиристо утверждала о себе самой: «Эта формула доказуема при помощи правил ПМ», что напоминает мне о безрассудстве Мухаммеда («Я – Величайший») Али, а также о Сальвадоре («Великом») Дали. И правда, через несколько лет после Гёделя такие самоподтверждающие формулы были состряпаны и изучены логиками вроде Мартина Хуго Лёба и Леона Хенкина. У этих формул также были удивительные и глубокие свойства. Поэтому я повторюсь, что странная петельность локализована не в кувырке из-за слова «не», а в неожиданном, нарушающем иерархию перевороте, вызванном словом «этот».

Однако я должен сразу же указать на то, что фразу вроде «эта формула» внутри скрытной формулы Гёделя вы не найдете – точно так же, как фразы «эта аудитория» вовсе нет в строках Кейджи: «Все, кто пересек пикетную линию перед Элитной лавкой Альфа и Берти, мерзавцы». Непредвиденное значение: «Люди в этой аудитории мерзавцы», скорее, неизбежное следствие вопиюще очевидной аналогии (или отображения) между двумя совершенно разными пикетными линиями (одна снаружи театра, другая на сцене), а значит, если обобщить, между пересекающими пикет зрителями и пересекающими пикет персонажами пьесы, которую они смотрят.

Открытие Гёделя показало: предубеждения, что подозрительные слова вроде «этот» (или «я», или «здесь», или «сейчас» – «индексикалы», как их называют философы, – слова, которые отсылают исключительно к говорящему или к чему-то, что тесно связано с говорящим или с самим сообщением) являются незаменимым ингредиентом для того, чтобы в системе возникла самореференция – наивная иллюзия; напротив, странная перекрученность – это простое, естественное следствие неожиданного изоморфизма между двумя разными ситуациями (той, о которой идет речь, с одной стороны, и той, которая говорит, с другой). Убедившись, что все индексикальные понятия вроде «этот» были совершенно исключены из его формальной системы, Бертран Рассел верил, что его творение будет иметь вечный иммунитет против бича перекрученности, – но своим судьбоносным изоморфизмом Курт Гёдель показал, что подобная вера была лишь неоправданным догматом.

Числа как репрезентативное средство

Почему этот вид изоморфизма впервые всплыл, когда кто-то тщательно разглядывал «Принципы математики»? Почему никто не подумал об этом до того, как случился Гёдель? Он всплыл, потому что «Принципы математики» в основе своей о натуральных числах, и Гёдель увидел, что мир натуральных чисел настолько богат, что для любого паттерна из объектов любого типа существуют числа, которые будут идеально отображать эти объекты и их паттерн, числа, танец которых будет в точности совпадать с танцем объектов из этого паттерна. Ключ в том, чтобы танцевать тот же танец.

Курт Гёдель был первым, кто осознал и применил тот факт, что положительные целые числа, хотя они и могут на первый взгляд казаться очень суровыми и разрозненными, на самом деле составляют глубоко разнообразное репрезентативное средство. Они могут повторять или отражать паттерн любого вида. Как любой человеческий язык, где существительные и глаголы (и т. д.) могут пускаться в бесконечно сложные танцы, так и натуральные числа могут пускаться в бесконечно сложные танцы сложения и умножения (и т. д.) и таким образом «говорить», с помощью шифра или аналогии, о событиях любого рода, числовых и нечисловых. Вот что я имел в виду, когда в Главе 9 написал, что на семена разрушения ПМ уже намекал с виду невинный факт, что ПМ была достаточно мощной для того, чтобы говорить о сколь угодно неявных свойствах целых чисел.