Я – странная петля

Почему логики и математики – не только Рассел, но и все остальные (включая Гёделя) – поставили бы на это? Что ж, аксиомы ПМ точно верны, а ее правила вывода настолько просты и незыблемо здравы, насколько только можно вообразить. Как можно получить из этого ложь? Представить, что в ПМ могут быть ложные теоремы, почти буквально так же сложно, как вообразить, что два плюс два равняется пяти. Так что заодно со всеми математиками и логиками поверим Расселу и Уайтхеду на слово и предположим, что их великолепный дворец логики непротиворечив. Отныне и впредь мы будем великодушно предполагать, что ПМ никогда не доказывает никаких ложных утверждений – все ее теоремы определенно являются утверждениями верными. Тогда, вооружившись нашим дружелюбным предположением, давайте зададимся вопросом: «Что было бы, если бы KG была доказуема внутри ПМ?»

Странная страна, где «потому что» совпадает с «хотя»

В самом деле, читатель, давайте мы с вами предположим, что KG доказуема в ПМ, и затем посмотрим, куда это предположение – я назову его «Сценарий доказуемой KG» – нас приведет. Ирония в том, обратите внимание, что сама KG не верит в Сценарий доказуемой KG. KG упрямо кричит всему миру: «Я не доказуема!» Так что если мы правы насчет KG, дорогой читатель, тогда KG ошибается на свой счет, как бы громко она ни кричала. В конце концов, ни одна формула не может быть сразу и доказуемой (как мы заявляем про KG), и недоказуемой (как KG сама заявляет). Один из нас должен быть не прав. (А для каждой формулы быть неправильной значит быть ложной. Эти два термина синонимы.) Итак… если Сценарий доказуемой KG актуален, то KG неправильна (= ложна).

Хорошо. Наши рассуждения начались со Сценария доказуемой KG и пришли к заключению «KG ложна». Иными словами, если KG доказуема, она также ложна. Но постойте, это что – доказуемая ложь в ПМ? Мы же только что, несколько мгновений назад, твердо заявили, что ПМ никогда не докажет лжи? Да, заявили. Мы согласились с повсеместным убеждением логиков, что ПМ непротиворечива. Если мы своих позиций не сдаем, Сценарий доказуемой KG должен быть неверным, поскольку он ведет к самому жуткому кошмару Рассела. Нам нужно отречься от него, отменить его, отказаться от него, аннулировать его и отозвать его, поскольку принять его – значит прийти к заключению («ПМ противоречива»), которое, как мы знаем, неверно.

Стало быть, тем самым Сценарий доказуемой KG признается негодным, что оставляет нам противоположный сценарий: KG недоказуема. И забавно то, что именно об этом KG и кричит на каждом углу. Мы видим, что заявление KG о самой себе – «Я недоказуема!» – истинно. В общем, мы установили два факта: (1) KG недоказуема в ПМ; (2) KG истинна.

Мы только что обнаружили в ПМ очень странную аномалию: тут есть арифметическое (теоретико-числовое, если быть чуть более точным) утверждение, в истинности которого мы уверены, но столь же мы уверены в том, что оно недоказуемо — и, в довершение всего, эти два с виду противоречивых факта являются следствиями друг друга! Иными словами, KG недоказуема не только хотя она истинна, но, хуже того, потому что она истинна.

Эта странная ситуация решительно беспрецедентная и глубоко извращенная. Это плевок в лицо Кредо Математика, которое утверждает, что истина и доказуемость – две стороны одной монеты, что они всегда вместе, поскольку одно влечет за собой другое. Вместо этого мы только что встретили случай, в котором – поразительно! – истина влечет за собой недоказуемость, и наоборот. Как вам такая щекотливая ситуация?

Неполнота происходит из силы

Тот факт, что существует теоретико-числовая истина, которая недоказуема в ПМ, означает, как вы можете помнить из Главы 9, что ПМ является неполной. В ней есть дырки. (Пока мы видели только одну дыру – KG, – но оказывается, что их гораздо больше – вообще-то, бесконечно много.) Некоторые утверждения теории чисел, которые должны быть доказуемы, ускользнули из обширной сети доказательств ПМ – утекли сквозь ее ячейки. Это, безусловно, другой кошмар – пожалуй, не такой разгромный, как самый жуткий кошмар Бертрана Рассела, но некоторым образом еще более вероломный и удручающий.

Математики и логики в 1931 году, конечно, не ожидали такого положения дел. Ничто не предвещало, что аксиомы и правила вывода «Принципов математики» окажутся слабыми или в чем-то дефектными. Совершенно наоборот: казалось, что они заключают в себе практически всякую истину о числах, которую только можно себе представить. Во введении статьи Гёделя 1931 года, процитированной в Главе 10, это явно обозначено. Если помните, он написал, говоря о «Принципах математики» и теории множеств Цермело – Френкеля: «Эти две системы настолько обширны, что все методики доказательств, ныне используемые, были формализованы в них, т. е. сжаты до нескольких аксиом и правил вывода».