Я – странная петля

То, что Гёдель здесь излагает, было практически всеобщим кредо на тот момент, так что открытие неполноты ПМ в последовавших за этим двадцати пяти страницах обрушилось как гром среди ясного неба.

Масла в огонь подлило то, что заключение Гёделя происходило не из слабости ПМ, а из ее силы. Этой силой был тот факт, что числа настолько гибкие и «хамелеонные», что их закономерности могут имитировать паттерны рассуждений. Гёдель использовал простой, но удивительный факт, что привычные целые числа могут танцевать совершенно так же, как танцуют непривычные символьные паттерны ПМ. Если говорить конкретнее, принципиальные числа, которые он изобрел, действуют неотличимо от доказуемых строк, а одна из естественных сил ПМ состоит в том, чтобы говорить о принципиальных числах. По этой причине она могла говорить о себе (через код). Одним словом, выразительная сила ПМ и порождает неполноту. Какая фантастическая ирония!

Второй самый жуткий кошмар Бертрана Рассела

Любое расширение ПМ (скажем, система с бóльшим количеством аксиом, или правил, или и того и другого) была бы столь же выразительной в плане гибкости чисел, как и ПМ (иначе она была бы слабее, а не сильнее), так что она успешно попалась бы в ту же Гёделеву ловушку – с готовностью подорвалась бы на собственной мине.

Позвольте мне растолковать это более подробно. Строкам, доказуемым в большей и предположительно более совершенной системе Супер-ПМ, изоморфно подражало бы множество чисел, более изобильное, чем принципиальные числа (а потому давайте назовем их «суперпринципиальные числа»). На этом этапе Гёдель, в точности как и для ПМ, тут же создал бы новую формулу KH для Супер-ПМ, которая утверждала бы: «Число h не суперпринципиальное», и, конечно, он бы устроил все так, чтобы h было числом Гёделя для самой KH. (Когда это было сделано для ПМ, сделать это для Супер-ПМ легче легкого.) Паттерн рассуждений, по которому мы только что прошли для ПМ, в точности повторился бы снова, и предположительно более мощная система точно таким же образом стала бы жертвой неполноты – ровно по тем же причинам, что и ПМ. Старая пословица говорит об этом коротко и ясно: «Чем выше взлетишь, тем больнее падать».

Иными словами, дырка в ПМ (и в любой другой аксиоматической системе, такой же богатой, как ПМ) произошла не по какому-то беспечному недосмотру Рассела и Уайтхеда; это просто неизбежное свойство любой системы, достаточно гибкой для того, чтобы запечатлеть хамелеонные качества целых чисел. ПМ достаточно богата для того, чтобы суметь обернуться и посмотреть на себя саму, как видеокамера, которая смотрит на экран, на который сама же и отправляет картинку. Если вы соберете достаточно хорошую телесистему, ее способность замкнуть петлю неизбежна. А чем выше разрешение системы, тем более правдивой получается картинка.

Как и в дзюдо, сила оппонента становится причиной его уязвимости. Курт Гёдель, маневрируя как черный пояс, использовал силу ПМ, чтобы разбить ее вдребезги: не так, впрочем, катастрофично, как противоречивостью, но совершенно неожиданным образом – разбить ее неполнотой. Тот факт, что обойти чернопоясный фокус Гёделя без пополнения или расширения ПМ никак нельзя, называется «существенной неполнотой» – второй по степени жути кошмар Рассела. Но в отличие от его самого жуткого кошмара, который остался всего лишь плохим сном, этот кошмар случился наяву.

Бесконечная череда монстров

Мало того, что эта лодка потонет, несмотря на расширение ПМ, хуже того – KG далеко не единственная дырка в ПМ. В любой аксиоматической системе есть бесконечно много путей для гёделевской нумерации, и каждый из них производит нового сородича KG. Они все разные, но похожи между собой как клоны. Если вы вознамерились удержать эту лодку на плаву, вы можете подбрасывать KG и любого из ее клонов в ПМ в качестве новой аксиомы (если на то пошло, можете подбросить их все разом!), но толку от вашего геройства будет мало; рецепт Гёделя немедленно произведет новенького сородича KG. И опять эта новая самореферентная гёделевская строка будет «в точности такой же, как» KG и великое множество ее клонов, но она не будет идентична ни одной из них. И ее вы тоже можете подбросить, и получите еще одного сородича! Кажется, что дыры множатся внутри сопротивляющейся лодки ПМ точно так же, как по весне множатся маргаритки и фиалки. Теперь понятно, почему я называю этот кошмар более вероломным и удручающим, чем первый кошмар Рассела.