Я – странная петля

В этом невероятно приятном, но крайне маловероятном сценарии вы могли бы немедленно, без дальнейших поисков как в мире целых чисел и их делителей, так и в мире строгих доказательств, заключить, что Бес одновременно истинен и недоказуем. Иными словами, вы бы заключили, что утверждение «Существует бесконечно много совершенных чисел» верно, а также вы бы заключили, что у него нет доказательства через аксиомы и правила вывода ПМ, и в конце концов вы бы заключили, что отсутствие доказательства Беса в ПМ – это прямое следствие его истинности.

Вы можете решить, что сценарий, который я только что изобразил, полная чушь, но он полностью аналогичен тому, что сделал Гёдель. Просто вместо того, чтобы начать с априори хорошо известного и интересного утверждения о числах, а затем по счастливой случайности столкнуться с очень странным альтернативным значением внутри его, Гёдель тщательно составил утверждение о числах и обнаружил, что из-за того, как он его построил, у него есть очень странное альтернативное значение. Помимо, собственно, этого, такие два сценария идентичны.

Уверен, вы можете сказать, что гипотетический сценарий Беса и настоящий сценарий KG радикально отличаются от того, как традиционно работала математика. Они представляют собой перевернутые вверх ногами рассуждения – рассуждения вниз от предполагаемых теорем, а не вверх от аксиом, и в особенности рассуждения от скрытого значения предполагаемых теорем, а не от поверхностных заявлений о числах.

Гёру и тщетный поиск Машины истины

Помните Гёру, гипотетическую машину, которая отличает принципиальные числа от нахальных (непринципиальных)? В Главе 10 я заметил, что если бы мы построили такого Гёру или если бы кто-то нам его дал, мы могли бы определять истинность или ложность совершенно любой теоретико-числовой гипотезы. Чтобы это сделать, нам нужно было бы лишь перевести гипотезу Г в формулу ПМ, вычислить ее число Гёделя г (нехитрая задача) и затем спросить Гёру: «Число г принципиальное или нахальное?» Если Гёру возвращается с ответом «г принципиальное», мы объявляем: «Раз г принципиальное, гипотеза Г доказуема и потому истинна»; если же Гёру возвращается с ответом «г нахальное», тогда мы объявляем: «Раз г нахальное, гипотеза Г недоказуема и потому ложна». И поскольку Гёру всегда (мы так условились) выдает нам один или другой из этих ответов, мы можем просто расслабиться и позволить ему решать математические загадки любого уровня сложности, какие мы только сможем придумать.

Это прекрасный сценарий для решения всех задач одним лишь маленьким устройством, но, к сожалению, теперь мы можем увидеть, что в нем есть губительный изъян. Гёдель открыл нам, что в ПМ (на самом деле в любой формальной аксиоматической системе вроде ПМ) между истиной и доказуемостью лежит глубокая бездна. То есть, увы, есть много истинных утверждений, которые нельзя доказать. Так что, если формула ПМ не является теоремой, вы не можете считать это верным признаком того, что она ложна (хотя, к счастью, если формула является теоремой, это верный признак того, что она истинна). Так что даже если Гёру работает точно так, как обещалось в рекламе, и всегда выдает верный ответ «да» или «нет» на любой вопрос вида: «Число n принципиальное?», он все же не сможет ответить на любой наш математический вопрос.

Пусть и не такой информативный, как мы надеялись, Гёру все же был бы славной машинкой в арсенале; но оказывается, что даже это не наш расклад. Надежного разделителя на принципиальное/нахальное вообще не может существовать. (Я не буду тут вдаваться в детали, но их можно найти во множестве текстов по математической логике или вычислимости.) Похоже, что все наши мечты вдруг решили разом обрушиться – и в некотором смысле именно это случилось в 1930-х, когда впервые была обнаружена великая пропасть между абстрактным понятием истины и механическими путями установления истины и поразительный масштаб этой бездны начал доходить до сознания людей.

Один из последних гвоздей в гроб мечтаний математиков в этой сфере вбил логик Альфред Тарский, когда он показал, что не существует даже способа выразить в нотации ПМ утверждение «n является числом Гёделя истинной формулы теории чисел». Открытие Тарского означало, что, хотя существует бесконечное множество чисел, которые соответствуют истинным утверждениям (при использовании некоторой особой гёделевской нумерации), и дополняющее его бесконечное множество чисел, которые соответствуют ложным утверждениям, нет никакой возможности представить это различие как теоретико-числовое. Другими словами, множество всех чисел ППФ разделено на две взаимодополняющие части по дихотомии истина/ложь, но разделительная черта настолько специфична и неуловима, что ее нельзя охарактеризовать никаким математическим образом.