Я – странная петля

Этот удивительно извращенный и все же поразительно прекрасный маневр огорошил не только Бертрана Рассела, но практически каждого математика и мыслителя, включая великого немецкого математика Давида Гильберта, одной из главных целей в жизни которого было строго обосновать всю математику при помощи аксиоматической конструкции (это называлось «программой Гильберта»). Вплоть до того, как в 1931 году грянул Великий гром, повсеместно считалось, что эта благородная цель была достигнута Уайтхедом и Расселом.

Другими словами, математики того времени повсеместно верили в то, что я выше назвал «Кредо Математика (версия “Принципов математики”)». Шокирующее открытие Гёделя, что пьедестал, на котором они вполне обоснованно разместили свою веру, был фундаментально и непоправимо ущербным, следовало из двух вещей. Первой было наше любезное предположение, что пьедестал непротиворечив (то есть мы никогда не найдем лжи, притаившейся среди теорем ПМ); другая заключалась в недоказуемости внутри ПМ KG и всех ее бесконечных родственников, которые, как мы только что показали, были последовательностью, вытекающей из их самореференции – и из непротиворечивости ПМ.

Напоследок подытожим еще раз: что делает KG (или любого из ее родственников) недоказуемой? Выражаясь максимально кратко, ее самореферентное значение. Если бы KG была доказуема, замкнутая петля ее значения перевернулась бы и сделала бы ее недоказуемой, и тогда ПМ стала бы противоречивой – а мы знаем, что это не так.

Но, заметьте, мы не производили никакого детального анализа природы выкладок, которые бы пытались вывести KG. На самом деле мы полностью проигнорировали расселовское значение KG (то, что я называл его первичным значением), то есть заявление, что исполинское число, которое я назвал «g», обладает довольно загадочным и изысканным теоретико-числовым свойством, которое я назвал нахальностью или непринципиальностью. Вы можете заметить, что за последние пару страниц не появлялось ни слова о принципиальных или непринципиальных числах и их теоретико-числовых свойствах и вообще не упоминалось число g. Мы ловко миновали все эти числовые проблемы, глядя только на вторичное значение KG, значение, которого Бертран Рассел так никогда и не понял. Несколько строк абсолютно нечисловых рассуждений (во втором разделе этой главы) убедили нас, что это утверждение (сделанное о числах), по всей видимости, не может быть теоремой ПМ.

Непротиворечивость обрекает величественную гору на неприступность

Представьте, что команда спутниковых исследователей только что обнаружила неожиданный горный пик в Гималаях (назовем его «KJ»), и представьте, что они немедленно и с полной уверенностью заявляют, что из-за особого, крайне необычного свойства этой вершины, по всей видимости, не существует пути к ней наверх. Едва взглянув на единственный снимок, сделанный вертикально вниз с высоты в 400 километров, команда объявляет KJ неприступным пиком, причем они приходят к этому драматическому заключению, ни на секунду не задумавшись об особенностях горы, заметных с традиционной альпинистской перспективы, не говоря уже о том, чтобы замарать руки и действительно опробовать какой-то из бесчисленных возможных ходов, ведущих по крутым склонам к вершине. «Не-а, ни один не годится! – радостно заявляют они. – Нет смысла проверять какой-либо из них – вы обречены на провал!»

Если бы приключилось такое странное событие, оно бы значительно отличалось от того, как прежде приходили к заключениям о покоряемости гор. До сих пор альпинисты должны были опробовать много маршрутов – да-да, опробовать их многократно, с разнообразным снаряжением и в разных погодных условиях, – и даже тысячи поражений подряд не послужили бы железным доказательством, что эта гора навеки неприступна; все, что можно было заключить, так это то, что она до сих пор не поддавалась восхождению. Правда же, сама идея «доказательства неприступности» совершенно чужда для занятий альпинизмом.

Напротив, наша команда исследователей, даже не подумав ни об одном из бесконечного множества потенциальных маршрутов, ведущих к вершине (и уж точно не опробовав их по-настоящему), заключила по какому-то оригинальному свойству KJ, что она по природе своей неприступна. И все же это их заключение, это их заявление не просто вероятно или весьма похоже на правду, оно сделано с абсолютной уверенностью.