Я – странная петля

Это представляет собой беспрецедентный, перевернутый с ног на голову, направленный сверху вниз вид причинно-следственных связей в альпинизме. Какое такое свойство может отвечать за неприступность определенной горы? Традиционные альпинисты-эксперты пришли бы в замешательство от безапелляционного заявления, что на каждом возможном маршруте альпинистам неизбежно встретится некое фатальное препятствие. Они могут скромно заключить, что отдаленный пик очень трудно покорить, глядя на него снизу вверх и пытаясь учесть все мыслимые маршруты, по которым можно двигаться к вершине. Но наша отважная команда, напротив, посмотрела только на самую верхушку KJ и заключила сверху вниз, что попросту не существует маршрута, который бы вел к ней от подножия.

Когда на команду надавили очень сильно, исследователи наконец объяснили, как они пришли к такому оглушительному заключению. Оказалось, что фотография KJ, вид сверху, сделана не в обычном освещении, которое бы не выявило ничего особенного, а в недавно открытом «излучении Гёделя». Если воспринимать KJ при помощи этого новейшего средства, обнажается глубоко скрытое множество фатальных структур.

Проблема происходит из консистенции скал, на которых громоздятся ледники у самой верхушки; она настолько хрупка, что, стоит альпинисту подобраться к вершине, малейший добавочный вес (даже крупинка соли; даже ресничка малютки-шмеля!) тут же вызовет разрушительное землетрясение, и вся гора обрушится, не оставив камня на камне. Так что недоступность пика, оказывается, никак не связана с попытками взойти на вершину; она связана с изначальной нестабильностью, присущей самой вершине, и более того, с нестабильностью такого типа, который можно обнаружить только в излучении Гёделя. Какая глупая фантазия, не так ли?

Нисходящая причинность в математике

Так и есть. Но сенсация Гёделя, хоть и настолько же фантастическая, фантазией не была. Она была строгой и точной. Она раскрыла поразительный факт, что скрытое значение формулы может иметь особый тип «нисходящей» причинно-следственной силы, определяющей, истинна формула или нет (а также ее выводимость либо невыводимость внутри ПМ или любой другой достаточно богатой аксиоматической системы). Всего лишь зная значение формулы, можно судить о ее истинности или ложности, не прилагая усилий к тому, чтобы вывести ее старомодным образом, который требует методично продираться «вверх» от аксиом.

Это не только странно, это поразительно. Обычно нельзя просто посмотреть на то, что говорит математическое высказывание, и просто призвать содержание этого утверждения самостоятельно сделать вывод, истинно это утверждение или ложно (доказуемо или недоказуемо).

Например, если я вам скажу: «Существует бесконечно много совершенных чисел» (чисел вроде 6, 28 и 496, сумма делителей которых равняется самому числу), вы не будете знать, истинно или нет мое заявление – назовем его «Бес», – и то, что вы будете долго вглядываться в текст заявления «Бес» (не важно, изложено оно при помощи русских слов или некоей тернистой формальной нотации вроде нотации ПМ), ничуть вам не поможет. Вам придется опробовать разные подходы к этому пику. Так вы можете обнаружить, что 8128 – следующее совершенное число после 496; вы можете заметить, что ни одно из совершенных чисел, которые вы придумаете, не является нечетным, что довольно нечестно; вы можете увидеть, что каждое из них имеет форму p (p + 1) / 2, где p – это нечетное простое число (вроде 3, 7 или 31), а p + 1 – это также степень 2 (вроде 4, 8 или 32), и так далее.

Некоторое время спустя, вероятно, долгая череда неудач в доказательстве Беса может постепенно привести вас к подозрению, что это ложь. В таком случае вы можете решить сменить цель и опробовать разные подходы к соседнему пику-сопернику – а именно, к отрицанию Беса, или –Бес, – который является утверждением: «Не существует бесконечного количества совершенных чисел», что равносильно утверждению, что существует самое большое совершенное число (это напоминает о нашем старом знакомом P, предположительно самом большом простом числе на свете).

Но предположим, что на вас снизошла гениальность и вы открыли новую разновидность «излучения Гёделя» (например, какую-нибудь новую хитрую нумерацию Гёделя, включающую всю стандартную гёделевскую механику, которая заставляет принципиальные числа танцевать в идеальной синхронности с доказуемыми строками), которая позволила вам проникнуть взглядом в скрытый второй уровень значений, которыми обладает Бес, – в скрытое значение, которое заявляет для тех счастливчиков, которые знают, как его расшифровать: «Целое число b не принципиально», где b оказалось числом Гёделя для самого Беса. Что ж, дорогой читатель, я подозреваю, вы без промедления узнаете этот сценарий. Вы быстро поймете, что этот Бес, равно как и KG, при помощи нового кода Гёделя делает утверждение о себе: «Бес недоказуем в ПМ».