Я – странная петля

Люди в более ранние времена предугадали значительную часть этого богатства, когда попытались запечатлеть природу многих разнообразных аспектов окружающего мира – звезд, планет, атомов, молекул, цветов, кривых, нот, гармоний, мелодий и так далее – в числовых уравнениях и других типах числовых закономерностей. Четыре века назад Галилео Галилей, запустив эту тенденцию, произнес знаменитое: «Книга Природы написана на языке математики» (мысль, которая может казаться шокирующей для людей, которые любят природу, но ненавидят математику). И все же, несмотря на все эти столетия крайне успешной математизации различных аспектов мира, никто до Гёделя не понял, что одной из областей, которую математика может смоделировать, является сама математика.

Итог получается таков: непредвиденный самореферентный поворот, который, как обнаружил Гёдель, проскользнул внутрь «Принципов математики», был естественным и неизбежным следствием глубокой репрезентативной силы целых чисел. Как то, что видеосистема может создать самореферентную петлю, – это вовсе не чудо, а очевидная банальность, объясняемая мощностью видеокамер (или, если быть более точным, чрезвычайно богатой репрезентативной мощностью очень большого массива пикселей), так и то, что «Принципы математики» (или любая другая сравнимая система) содержит самонаправленные фразы вроде формулы Гёделя, поскольку система чисел, как и видеокамера (только еще вернее!) может «указать» на любую систему вообще и может в совершенстве воспроизвести паттерн этой системы на метафорическом «экране», состоящем из набора ее теорем. И, как и в обратной видеосвязи, завихрения, возникающие оттого, что ПМ указывает на саму себя, имеют всевозможные неожиданные, стихийные свойства, которые требуют совершенно новый словарь для их описания.

Глава 12. О нисходящей причинности

Самый жуткий кошмар Бертрана Рассела

Как по мне, самым неожиданным явлением, возникшим в результате работы Гёделя 1931 года, стал новый удивительный тип математической причинности (если можно использовать такой необычный термин). Я никогда не видел, чтобы прочие комментаторы освещали его открытие с такой стороны, и все дальнейшее будет моей личной интерпретацией. Чтобы разъяснить мою точку зрения, мне придется вернуться назад к знаменитой формуле Гёделя – назовем ее KG в его честь – и разобрать, что же ее существование означало для ПМ.

Как мы увидели в конце Главы 10, сжатое до своей сути значение KG (или, точнее, вторичное значение – высокоуровневое, нечисловое, нерасселовское значение, которое было обнаружено гениальным отображением Гёделя) представляет собой хлесткое утверждение: «KG недоказуема внутри ПМ». Итак, естественный вопрос – тот самый естественный вопрос: «Что же, KG правда недоказуема внутри ПМ?»

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно положиться на догмат о том, что все, что доказуемо внутри ПМ, является истинным утверждением (или, наоборот, никакая ложь не доказуема в ПМ). Это счастливое положение дел в Главе 10 мы назвали непротиворечивостью. Если бы ПМ не была непротиворечива, она могла бы доказать уйму неправды о целых числах, поскольку, как только вы докажете одну конкретную ложь (вроде «0 = 1»), из нее по правилам ПМ сразу последует бесконечное число прочих («1 = 2», «0 = 2», «1 + 1 = 1», «1 + 1 = 3», «2 + 2 = 5» и так далее). Вообще-то, все еще хуже: если бы хоть одно, сколь угодно мутное и невразумительное ложное утверждение было бы доказуемо в ПМ, то любое мыслимое арифметическое утверждение, не важно, истинное или ложное, стало бы доказуемым, и все величественное сооружение обрушилось бы, оставив лишь жалкие руины. Короче говоря, доказуемость хотя бы одной лжи означала бы, что ПМ не имеет никакого отношения к арифметической истине в принципе.

Что же тогда было бы самым жутким кошмаром Бертрана Рассела? Им было бы то, что однажды кто-то может придумать ПМ-доказательство формулы, выражающей неверное арифметическое утверждение (хороший пример такового «0 = s0»), поскольку в тот же миг ПМ можно было бы выбрасывать на помойку. Впрочем, к счастью для Рассела, каждый логик на планете скорее поставил бы на то, что снежок за сто лет не растает в аду. Иными словами, самый жуткий кошмар Бертрана Рассела – это всего лишь кошмар, и он никогда не выйдет за пределы страны сновидений.