Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Уволившись из авиации и так и не получив докторскую степень, Мандельброт, которому было уже 26, стал «не первой молодости» аспирантом в Парижском университете, «находившемся тогда в одной из низших точек своей долгой и зачастую славной истории». Первые проблески кеплеровской мечты Мандельброт уловил, когда выбирал тему для диссертации. В один прекрасный день дядя Шолем, который к этому моменту уже списал племянника со счетов и полагал, что для математики он потерян, с презрением достал из мусорного ведра и вручил юному Бенуа репринт статьи о каком-то законе Ципфа. Этот закон был детищем эксцентричного гарвардского лингвиста Джорджа Кингсли Ципфа и описывал частоту появления разных слов в письменных текстах – статьях, книгах и так далее. Самое частотное слово в английском языке – the, за ним следует of, а дальше and. Ципф проранжировал подобным образом все слова в целом ряде письменных текстов и затем нанес частотность их употребления на график. Получилась кривая неправильной формы. Казалось бы, слова должны плавно распределяться от самых распространенных до самых редких, но на деле кривая сначала резко обрывается вниз, а потом выравнивается в длинный и постепенно снижающийся хвост, чем-то напоминая траекторию лыжника, съезжающего с крутой горы. Такая кривая говорит о крайнем неравенстве: почти всю работу делают несколько сотен самых частотных слов, а подавляющее большинство изнывает от безделья, канув в Лету (на самом деле Ципф еще недооценивал эту лингвистическую несправедливость: одним из главных своих источников он сделал «Улисса» Джойса, где полным-полно малоупотребительных слов). «Закон», который в итоге сформулировал Ципф, представляет собой простое, но точное численное соотношение между порядковым номером числа и его частотностью.

Доказано, что закон Ципфа справедлив для всех языков, и на первый взгляд он кажется занятным пустяком. Однако, как выяснилось, тот же принцип справедлив для самых разных явлений – это и размер островов, и население городов, и сколько времени книга держится в списке бестселлеров, и количество ссылок на веб-сайт, и распределение доходов и богатства в стране, как открыл в девяностые годы XIX века итальянский экономист Вильфредо Парето. Все это – примеры «степенно́го закона» распределения (речь идет о степени в математическом понимании). В природе и в обществе степенные законы действуют там, где имеет место крайнее неравенство или неоднородность: сначала высокий пик (соответствующий горстке крупных городов, самым используемым словам или очень богатым людям), а затем длинный хвост (множество мелких городков, редких слов или наемных рабов, трудящихся за гроши). В таких случаях идея «среднего» теряет смысл.

Мандельброт разобрался в законе Ципфа в метро по дороге домой от дядюшки. «Это был один из очень немногих отчетливых моментов озарения в моей жизни, – вспоминает он. – Я увидел, что у закона могут быть глубинные связи с теорией информации, следовательно, со статистической термодинамикой, и на всю жизнь увлекся степенными законами распределения». В результате Бенуа написал диссертацию о законе Ципфа. Ни дядя Шолем, ни диссертационный совет (главой которого был Луи де Бройль, один из основателей квантовой теории) не придали особого значения его стараниям подчеркнуть всю важность степенных законов, и после этого Мандельброт довольно долго был единственным математиком, серьезно относившимся к подобным законам и их длинным хвостам – и именно поэтому, когда полвека спустя важность этих законов была признана в полной мере, Мандельброт стал известен как «отец длинных хвостов».