Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

А русских сверхъестественный дух теории Кантора только согревал. Более того, у истоков одной из самых влиятельных математических школ XX века – Московской математической школы середины столетия – стояли русские математики, принадлежавшие к еретической секте имяславцев. Сектанты верили, что если непрестанно повторять имя Божие, можно слиться с божественным. Имяславие возникло еще в IV веке среди палестинских отшельников-христиан, а в новое время его возродил русский монах Иларион. В 1907 году он опубликовал книгу «На горах Кавказа», где описывал, как доходил до религиозного экстаза, нараспев повторяя имена Бога и Иисуса Христа до тех пор, пока дыхание и сердцебиение не входили с ними в резонанс.

В глазах официальной православной церкви имяславцы были еретиками, поскольку приравнивали Бога к Его имени, и царский режим подавил движение (чтобы выдворить сектантов из Афонского монастыря, где было много мятежных монахов-имяславцев, даже отправили военных моряков). Но для математиков, входивших в секту, имяславие, по всей видимости, открывало особый путь к бесконечности и на платоновские небеса, где она обитала. Так что русские смело применяли высшие бесконечности в своих математических трудах. «Пока французам мешал их рационализм, русским придавала сил их вера в мистическое», – утверждают Грэхэм и Кантор.

Тут напрашиваются два разных вопроса. Во-первых, правда ли, что имяславский мистицизм помог русским в математических исследованиях? Грэхэм и Кантор убеждены, что да, и утверждают, что в этом случае «религиозная ересь поспособствовала рождению новой отрасли современной математики». Это заставляет задать второй вопрос: разве может мистицизм сыграть важную роль в обретении математических знаний, особенно знаний о бесконечности? На него авторы, убежденные антиклерикалы, отвечают уже не так уверенно. «Мы доверяем рациональной мысли больше, чем мистическому озарению», – пишут они. Но ведь то же самое можно сказать и о французских математиках, которых русские опередили. У читателя остается впечатление, что мистицизм в математике заключает в себе какое-то зерно прагматической истины – то есть это работающий метод.

Вспомним, с какими понятийными трудностями столкнулись математики к концу XIX века. Когда Кантор приступил к работе над бесконечностью, в основных понятиях математического анализа, который десятилетиями был главным математическим инструментом познания физического мира, еще царила путаница. В сущности, математический анализ имеет дело с кривыми. Две его главные операции – это поиск направления кривой в данной точке (производная) и поиск площади, ограниченной кривой (интеграл). Кривые математически описываются функциями. Одни функции красивые и гладкие, например, синусоида, они называются непрерывными. У других есть точки разрыва. Насколько разрывной может быть функция, чтобы к ней все же можно было применять методы математического анализа? Это был важнейший вопрос, ответ на который мучительно искали современники Кантора.

Оказалось, что для ответа нужна идея множества. Рассмотрим множество всех точек, где функция прерывиста и совершает скачки. Чем больше и сложнее это множество разрывов, тем «патологичнее» функция. Поэтому Кантор и обратил внимание на множества точек. Как измерить размер такого множества? Кантор попытался это выяснить, и у него получилась теория, определяющая целую иерархию бесконечностей в зависимости от их размера[17].

Теория множеств Кантора и его открытие, что бесконечности бывают «большие» и «маленькие», обеспечили все необходимое, чтобы привести математический анализ в порядок и расширить его основные понятия[18]. Работой руководили три французских математика. Эмиль Борель, математик, руководивший Эколь Нормаль Сюпериор – Высшей нормальной школой – был еще и журналистом (он выпускал авторитетное левое периодическое издание Revue du Mois), государственным служащим, видной фигурой парижского бомонда, а затем – участником Сопротивления и узником гестапо. Борель и его ученики Анри Лебег и Рене Бэр сумели избавить математический анализ от самых неприятных недочетов, касавшихся его оснований. Борель сформулировал теорию меры, без которой невозможно было изучать вероятности. Бэр разработал понятие непрерывности и изучил ее связи с производной. А Лебег представил красивую новую теорию интегрального исчисления, избавленную от самых досадных пробелов.