Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Несмотря на то, что Аристотель и Евклид подвергли бесконечно малое остракизму, эта идея не полностью исчезла из западной мысли. Благодаря сильному влиянию Платона, который в отличие от Аристотеля не ограничивал все сущее одним лишь миром чувственного восприятия, бесконечно малое продолжило свою мутноватую карьеру объекта трансцендентных спекуляций. Неоплатоники, в том числе Плотин, и раннехристианские богословы вроде святого Августина отождествили бесконечность с Богом и тем самым восстановили ее репутацию. Средневековые философы потратили на диспуты о бесконечно малом даже больше времени, чем о бесконечно большом.

В эпоху Возрождения платонизм снова вошел в моду, и бесконечно малое просочилось обратно в математику, хотя в несколько мистическом обличье. Иоганн Кеплер полагал, что бесконечно малое существует как ниспосланный свыше «мост непрерывности» между криволинейным и прямолинейным. Логические тонкости его не особенно интересовали – «Природа учит геометрии интуитивно, безо всякой рационализации», – писал он. Поэтому в 1612 году он применил бесконечно малое для расчета идеальных пропорций важнейшего предмета – винного бочонка. И его расчеты оказались верными.

Теплые чувства Кеплера к бесконечно малому разделяли Галилей и Ферма. Все трое понемногу сдвигались от бесплодных структур евклидовой геометрии в сторону плодородной, пусть и несколько нестрогой и буйной, науке о движении, описывавшей перемещение тел в бесконечно делимых пространстве и времени. Но эти натурфилософы оказывались в некоторой богословской западне, из которой было никак не выбраться: как настоящая бесконечность, которую следует считать атрибутом исключительно Господа, может существовать в конечном мире, который Он создал?

Сильнее всего этот вопрос взволновал Блэза Паскаля. Природа являет нам две бесконечности как непостижимые тайны, которыми нужно восхищаться, а не пытаться их понять, писал Паскаль. И применять в рассуждениях, мог бы он добавить. Ведь Паскаль был еще и математиком и свободно вводил бесконечно малые величины в свои расчеты площадей криволинейных фигур. Трюк состоял в том, чтобы опустить их как пренебрежимо малые, как только удавалось получить желаемый конечный ответ. Это оскорбляло логические чувства его современников вроде Декарта, но критикам Паскаль отвечал, в сущности, что чего разумом не понимаешь, то сердцем чувствуешь.

Труды Паскаля предвосхитили современную науку о природе, однако он (как и Ферма и Галилей) так и не порвал с евклидовой традицией. Но геометрия в одиночку никак не могла совладать с бесконечно малым, а без этого невозможно было исчислить движение. Укротить бесконечно малое удалось Ньютону и Лейбницу лишь в шестидесятые-семидесятые годы XVII века, когда они более или менее одновременно разработали «математический анализ бесконечно малых», который мы теперь знаем просто как математический анализ. Древние философские сложности с бесконечно малыми величинами сменились чистейшим восхищением их научным плодородием.

А в руках Ньютона бесконечно малые оказались плодородными до предела. Хотя соперник Ньютона Лейбниц придумал более элегантную систему формул для математического анализа бесконечно малых, которой мы пользуемся сегодня, именно Ньютон применил этот новый инструмент для осмысления вселенской гармонии. Он сформулировал законы движения и тяготения, а затем поставил перед собой задачу вывести из них точные параметры орбиты планеты вокруг Солнца. Задача была поистине неподъемная, если учесть, что скорость планеты и расстояние от Солнца постоянно меняются. Ньютон не сразу стал подступаться к форме орбиты, а придумал изобретательный прием: разбить ее на бесконечное число сегментов, а затем сложить воздействие гравитационной силы солнца на скорость планеты в каждом бесконечно малом сегменте.