Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Сильное недоверие к бесконечно малым величинам питал и Лейбниц. С одной стороны, они требовались для его метафизического принципа natura non facit saltum («природа не делает прыжков»); без этих амфибий, плавающих между существованием и несуществованием, переход от возможности к реальности был, похоже, немыслим. С другой стороны, они сопротивлялись любым попыткам строгого определения. Как Лейбниц ни старался, он только и мог, что множить аналогии, сравнивая, например, песчинку с земным шаром, а земной шар со звездами. Но когда его ученик Иоганн Бернулли привел в пример крошечных созданий, которых удалось разглядеть в микроскоп (только что изобретенный Левенгуком), Лейбниц возмущенно возразил, что эти малюсенькие существа все же имеют конечный, а не бесконечно малый размер. В итоге он решил, что бесконечно малые величины – просто fictiones bene fundatae («хорошо обоснованные выдумки»): они помогают делать изящные открытия, не приводят к ошибкам, однако на самом деле не существуют. Однако Джорджу Беркли этого было мало. В 1734 году он опубликовал гневную филиппику в адрес математического анализа бесконечно малых под названием «Аналитик, или Обращение к нечестивому математику» (The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician). Его подтолкнул к этому растущий престиж науки механики, таящий в себе угрозу ортодоксальному христианству («нечестивый математик», к которому он обращается, – это, как принято считать, друг Ньютона Эдмунд Галлей). Беркли утверждал, что догматы христианского богословия, как бы ни противоречили они логике (как иногда представляется на первый взгляд), не могут состязаться в туманности и нелогичности с опорой новой науки – бесконечно малым. Сторонники математического анализа были поставлены перед дилеммой: или бесконечно малые величины равны нулю, а в этом случае вычисления, предполагающие деление, теряют смысл, или они не равны нулю, а тогда ответы неверны. Быть может, насмешливо заключал Беркли, нам лучше всего считать бесконечно малые величины «призраками ушедших чисел».

А между тем по ту сторону Ла-Манша Вольтер, в числе прочих, ничуть не волновался из-за тонкостей, связанных с понятием бесконечно малых; он беззаботно называл математический анализ «искусством перечисления и измерения того самого, чье существование невозможно себе представить». Ведь математический анализ бесконечно малых как инструмент научных исследований оказался так хорош, что не оставлял места для сомнений. В конце XVIII века математики, в том числе Лагранж и Лаплас, применяли его для разъяснения самых темных мест небесной механики, которые ставили в тупик Ньютона. Мощь математического анализа была сопоставима разве что с его универсальностью. Он давал возможность проделывать вычисления, связанные с любыми непрерывными изменениями. Дифференциальное исчисление позволило выразить скорость изменений как отношение бесконечно малых. Интегральное исчисление показало, как через сумму бесконечного количества подобных изменений описать общую эволюцию рассматриваемого явления. А основная теорема анализа связывает две эти операции, причем довольно красиво, показывая, что одна из них логически представляет собой зеркальное отражение другой.

В этот золотой век научных открытий ученые относились к бесконечно малым величинам, как к любым другим числам, пока в вычислениях не становилось удобным приравнивать их к нулю (как не без лукавства делал Ньютон в случаях вроде вышеописанной задачи о падающем камне). Такое беззаботное отношение к бесконечно малым отражено в совете французского математика Жана Лерона д’Аламбера: «Allez en avant, et la foi vous viendra» («Вперед, и вера придет к тебе сама»).

Однако оставались и такие, кто считал недопустимым, что здание современной науки зиждется на таком шатком метафизическом фундаменте. На протяжении всего XVIII века предпринималось множество попыток опровергнуть все обвинения в адрес бесконечно малых, выдвигаемые критиками вроде Беркли, и найти логичный набор правил их применения. Все эти попытки оказались безуспешными, а некоторые попросту глупыми (Карл Маркс уже в середине следующего века тоже приложил руку к этой задаче и оставил больше тысячи неопубликованных страниц на эту тему). С философской точки зрения одним из наиболее симпатичных был подход Бернара де Фонтенеля, который попытался подвести рациональную основу под идею бесконечно малого, описав его как нечто обратное бесконечно большому. Хотя в конечном итоге Фонтенель так и не справился с формальными сложностями, он провидчески утверждал, что реальность объектов вроде бесконечно малого в конечном итоге зависит от их логической непротиворечивости, а не от их существования в реальном мире.