Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Ведь несмотря на все строгости Аристотеля, Беркли и Рассела никто так и не смог формально доказать, что идея бесконечно малого логически противоречива. А с прогрессом в логике в начале XX века стало проступать новое понимание логической непротиворечивости и его отношения к истинности и существованию. Первопроходцем в этом был логик Курт Гёдель, уроженец Австрии. Сегодня Гёдель знаменит в первую очередь своей «теоремой о неполноте», доказанной в 1930 году, согласно которой, грубо говоря, никакая система аксиом не способна породить все математические истины. Однако за год до этого Гёдель защитил диссертацию и получил в ней результат, пожалуй, не менее важный, который известен как «теорема о полноте», что вызывает некоторую путаницу. У этой теоремы есть очень интересное следствие. Возьмите любой набор утверждений, сформулированный на языке логики. И тогда теорема о полноте гарантирует, что пока эти утверждения взаимно непротиворечивы, то есть из них не следует никакого противоречия, существует такое толкование, при которой все эти утверждения истинны. Такая интерпретация называется моделью для этих утверждений. Рассмотрим, к примеру, утверждения «все a – b» и «некоторые a – c». Если мы истолкуем a как «люди», b как «смертные», а c как «рыжие», то множество людей – это модель для этой пары утверждений. Гёдель показал, как конструировать модели из абстрактных математических ингредиентов. Тем самым он поспособствовал развитию раздела логики под названием «теория моделей», которая изучает отношения между формальными языками и их интерпретациями.

Самое яркое открытие теории моделей – это фундаментальная неопределенность семантики, отношений между языком и реальностью. Оказывается, теория на формальном языке, призванная описать какую-то уникальную реальность, как правило, неспособна ограничиться только ею. В ней появляются «непреднамеренные интерпретации», искажающие смысл. Для примера, пусть и не слишком жизненного, возьмем теорию, состоящую из одного-единственного утверждения «Все люди смертны». Преднамеренная интерпретация предполагает, что модель этой теории – множество людей. Но если слово «люди» взято для обозначения кошек, а «смертные» – для обозначения любознательности, то множество кошек тоже служит моделью для этой теории, но непреднамеренной. Более интересный пример дает нам теория множеств. Преднамеренная интерпретация гласит, что аксиомы теории множеств описывают абстрактную вселенную множеств и из них следует существование высших бесконечностей в этой вселенной. Однако оказывается, что эти аксиомы с тем же успехом можно интерпретировать как относящиеся к старым добрым натуральным числам, среди которых нет никаких высших бесконечностей. Поэтому аксиомы теории множеств не описывают исключительно ту уникальную реальность, которую должны. По одной интерпретации они говорят о вселенной множеств, по другой, нелепой, но такой же достоверной, рассказывают о ряде 1, 2, 3… Когда мы полагаем, что высказываем истинные утверждения о высших бесконечностях, звуки, которые мы издаем, вполне могут быть поняты как истинные утверждения об обычных числах.