Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

И вот тут-то Робинсон и проделал главный фокус. Пусть INF — это обыкновенная набившая оскомину дробь, которая просто меньше ¹/₁₄₇, а точнее, предположим, что INF – это просто название дроби ¹/₁₄₈. При таком истолковании ни одна из строчек доказательства не говорит ничего о бесконечно малом. Все это утверждения, описывающие обыкновенные дроби, причем утверждения безупречно истинные. Так что теперь у нас появилось доказательство, убедительное в обычной теории арифметики. Но последняя строчка этого доказательства все равно гласит «0=1». Значит, мы только что доказали, что обычная арифметика противоречива!

Если обогащенная теория T* противоречива, значит, обычная теория T тоже должна быть противоречива. И наоборот, если обычная теория T непротиворечива, значит, обогащенная теория T* тоже должна быть непротиворечива. Так что если надстроить обычную арифметику бесконечно малым и связанными с ним аксиомами, это не повышает риск противоречивости. Обычных парадоксов, которые ассоциируются с бесконечно малым, удается избежать, поскольку ни одна из новых аксиом по отдельности не говорит, что INF меньше всех положительных чисел. Для такого утверждения нужен весь бесконечный список новых аксиом целиком. Но втиснуть весь список в конечное доказательство невозможно.

Поэтому, как показал Робинсон, можно безо всяких опасений предполагать, что T* непротиворечива. Но это еще не все. Заручившись доказательством непротиворечивости, мы можем привлечь теорему Гёделя о полноте, которая гласит, в сущности, что непротиворечивости достаточно для реальности. Непротиворечивая теория гарантированно обладает моделью – существует абстрактная вселенная, которую эта теория описывает, и это описание истинно. В случае обогащенной теории T* эта модель «нестандартна»: она содержит всевозможные экзотические сущности в дополнение к обычным конечным числам, используемым в арифметике. Среди сущностей, обитающих в этой нестандартной вселенной, есть и бесконечно малые числа. Они окружают каждое конечное число плотным крошечным облачком, которое Робинсон из уважения к Лейбницу назвал «монадой».

∞

Озарение по поводу бесконечно малого посетило Робинсона в 1961 году, когда он приехал в Принстон в творческий отпуск; говорят, это случилось у входа в Файн-Холл. Через пять лет Робинсон опубликовал работу «Нестандартный анализ» (Non-standard Analysis), где подробно разобрал математический потенциал своего открытия. Эпиграф для своей книги Робинсон взял из повести Вольтера «Микромегас» о гигантском инопланетянине, который в изумлении обнаруживает, какие микроскопические по его меркам люди населяют Землю: «Je vois plus que jamais qu’il ne faut juger de rien sur sa grandeur apparente. O Dieu! qui avez donnéune intelligence á des substances qui paraissent si méprisables, l’infiniment petit vous coûte autant que l’infiniment grand» («Теперь я более чем когда-либо убежден, что ни о чем нельзя судить по его размерам. Господи, ты даровал разум столь неприметным, крохотным существам! Для тебя сотворить бесконечно малое так же просто, как бесконечно большое»[21]).

Любопытно, что добавление бесконечно малых к вселенной математики, которое удалось осуществить Робинсону, никоим образом не меняет свойств обычных конечных чисел. Все, что можно сказать о них и доказать при помощи рассуждений с участием бесконечно малых, – вопрос чистой логики и может быть доказано и обычными способами. Однако едва ли это означает, что подход Робинсона бесплоден. «Нестандартный анализ» Робинсона возродил к жизни интуитивные методы, которые первыми разведали Ньютон и Лейбниц, и доказательства, полученные его способами, лаконичнее, глубже и менее ad hoc, чем аналогичные стандартные. Робинсон и сам сразу же применил нестандартный анализ для решения одной крупной проблемы в теории линейных пространств, не поддававшейся другим математикам. А в дальнейшем нестандартный анализ обрел много сторонников в международном математическом сообществе, особенно во Франции, и с большим успехом применялся в теории вероятностей, физике и экономике, где прекрасно моделирует, предположим, бесконечно малое воздействие отдельного торговца на ценообразование.