Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Для разработки этой интереснейшей непоследовательности больше всех сделал Абрахам Робинсон (1918–1974). Биография у Робинсона была необычайно бурная для логика, а образ жизни – светский и даже аристократический. Он родился в силезском шахтерском поселке Вальденбург (теперь это польский город Валбжих) и подростком вместе с семьей бежал от фашистов в Палестину. Там он изучал математику и философию в Еврейском университете и при этом вступил в подпольную сионистскую военную организацию «Хагана». Робинсон получил стипендию в Сорбонне и очутился там незадолго до прихода немцев. Ему удалось в последний момент перебраться в Лондон во время бомбежек, и там он стал сначала сержантом движения «Сражающаяся Франция», а затем техническим специалистом в британских ВВС. Несмотря на ужасы и сумятицу военного времени, Робинсон продолжал заниматься чистой математикой и логикой и при этом прекрасно работал на армию – проводил исследования по аэродинамике и «теории крыла». После войны Робинсон с женой, талантливой актрисой и модным фотографом из Вены, частенько появлялись на парижских показах коллекций высокой моды. Робинсон читал лекции как приглашенный профессор в Университете Торонто и Еврейском университете, а затем в начале шестидесятых получил должность профессора философии и математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, которую до него занимал Рудольф Карнап. Поддавшись очарованию Голливуда, Робинсон с женой жили на вилле в каньоне Мандевиль, построенной в стиле Ле Корбюзье, и дружили с актером Оскаром Вернером. Работы Робинсона делали его одним из величайших специалистов по математической логике в мире, а при этом он был светским львом и бонвиваном – и к тому же одним из первых открыто высказывался против Вьетнамской войны. В конце шестидесятых он перешел в Йель и помог превратить его в мировой центр логики, а в 1974 году, в возрасте 55 лет, умер от рака поджелудочной железы.

Величайшим и гениальнейшим достижением Робинсона было то, что он в одиночку реабилитировал идею бесконечно малого. Исходил он из того, что размышлял о языке математики как о формальном объекте, подлежащем логическому изучению и манипулированию. Вот вкратце суть его рассуждений.

Начнем с математической теории, которая описывает, как работает старая добрая арифметика: обыкновенные дроби, их сложение и умножение и так далее. Для краткости назовем теорию арифметики T. Мы исходим из предположения, что T – теория логически непротиворечивая, из нее невозможно вывести противоречие вроде «0=1». (Если бы в обычной арифметике таилось противоречие, нам пришлось бы плохо: повсюду рушились бы мосты).

А теперь добавим кое-что в теорию арифметики T. Для начала добавим новый символ – я назову его INF (от infinitesimal, бесконечно малое). Теперь добавим несколько аксиом, описывающих предполагаемое поведение INF. Мы хотим, чтобы это INF вело себя как бесконечно малое – было меньше любого конечного числа и все же больше нуля. Так вот, чтобы это передать, нам понадобится много новых аксиом, точнее, бесконечный их список. Вот они:

(Новая аксиома № 1). INF меньше 1, но больше 0.

(Новая аксиома № 2). INF меньше ½, но больше 0.

(Новая аксиома № 3). INF меньше ⅓, но больше 0.

…

(Новая аксиома № 1 000 000). INF меньше 1/1 000 000, но больше 0.

(Новая аксиома № 1 000 001). INF меньше 1/1 000 001, но больше 0.

И так далее до бесконечности.

Теперь обозначим обогащенную теорию, которую мы получим, если начнем с T и добавим к ней все эти нововведения, как T*. Похоже, T* охватывает все, что мы имеем в виду под понятием бесконечно малого. В ней есть символ INF, обозначающий число, которое, согласно новым аксиомам, меньше любого конечного числа, но больше нуля. Но откуда мы знаем, что T* непротиворечива? Вспомним, что так пугало в бесконечно малом и греков, и Джорджа Беркли, и даже Ньютона: вдруг оно ведет к парадоксу, непоследовательности, противоречию? Но Робинсон сумел показать, что эти опасения безосновательны. Если T, теория обычной арифметики, непротиворечива, то обогащенная теория арифметики, охватывающая бесконечно малое, тоже непротиворечива. Это Робинсон и доказал.

Как ему это удалось? Предположим, T* противоречива. То есть, в сущности, предположим, что из ее аксиом можно вывести противоречие. Это доказательство будет состоять из конечного количества строк: одни – аксиомы, другие – выводы из прежних строк, содержащие нелепицы вроде «0=1». В этом конечном числе строк может быть приведено только конечное число новых аксиом об INF (самое большое – одна аксиома на строку). Скажем для наглядности, что последняя аксиома T*, то есть аксиома с самым большим порядковым номером, задействованная в доказательстве, – это

(Новая аксиома № 147). INF меньше ¹/₁₄₇, но больше 0.

Таким образом, мы предполагаем, что ни одна из новых аксиом T* после Новой аксиомы № 147 не нужна для доказательства противоречия, скрытого в T*.