Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

В XIX веке, когда Гегель и его последователи воспользовались путаницей вокруг бесконечно малого как подтверждением своих представлений, что математика внутренне противоречива, наконец удалось найти способ избавиться от этой досадной идеи, не жертвуя восхитительной конструкцией математического анализа, которая на ней строилась. В 1821 году великий французский математик Огюстен Коши сделал первый шаг, задействовав математическое понятие «предела». Это понятие, смутно просматривавшееся еще в идеях Ньютона, было призвано определить мгновенную скорость не как отношение бесконечно малых, а как предел ряда обычных конечных дробей; члены этого ряда никогда не достигали предела, но приближались к нему «на сколько нам угодно». В 1858 году немецкий математик Карл Вейерштрасс придал выражению «на сколько нам угодно» точный логический смысл. Затем, уже в 1872 году, Рихард Дедекинд, тоже немец, показал, как гладкая непрерывная числовая линия, которая, как раньше считалось, скреплялась воедино клеем из бесконечно малых, может быть представлена в виде бесконечного множества рациональных и иррациональных чисел, никогда не соприкасающихся друг с другом попарно.

Все эти новшества были предназначены сугубо для специалистов и усваивались, мягко говоря, не без труда. (Собственно, так обстоят дела и сегодня, как скажет вам любой студент-первокурсник, которому на занятиях по матанализу пришлось продираться сквозь загадочные доказательства теорем о пределах, полные всяких «дельта-эпсилон».) Совокупно они позволяют сделать три фундаментальных вывода. Во-первых, они говорили об окончательном, как тогда казалось, изгнании бесконечно малого из ортодоксальной научной мысли. «Отпала необходимость предполагать, что такое существует», – заметил с явным облегчением Бертран Рассел. Во-вторых, они означали возвращение математики к евклидовой строгости и ее формальному отделению от физики после бурной эпохи открытий, когда они были практически неразличимы. В-третьих, они помогли преобразить господствующую в философии картину мира. Если бесконечно малого не существует, то, как заметил Рассел, теряют смысл идеи «следующего мига» и «состояния изменения». Природа становится статичной и прерывистой, поскольку нет никакого гладкого переходного элемента, позволявшего одному событию перетекать в другое. В несколько абстрактном смысле все перестало «держаться». Возникшее от этого общее ощущение онтологической прерывистости прослеживается и в культурных тенденциях к модернизму, о чем свидетельствует и пуантилизм Сера, и «хронофотографии» Мейбриджа, из которых он составлял первые прото-фильмы, и поэзия Рембо и Лафорга, и «серийная техника» Шёнберга, и романы Джойса.

Некоторая ностальгия по бесконечно малому сохранилась только у философов-одиночек. На рубеже веков французский философ Анри Бергсон утверждал, что новое «кинематографическое» восприятие перемен фальсифицировало наш дорефлексивный опыт, когда бесконечно малые моменты времени плавно перетекали один в другой. Американец Чарльз Пирс, один из основоположников прагматизма, тоже призывал придавать особое значение нашему интуитивному восприятию непрерывности. Пирс был категорически против «старомодного предубеждения против бесконечно малых величин» и утверждал, что субъективное «сейчас» имеет смысл, только если трактовать его как бесконечно малое. Между тем в мире математики бесконечно малое хоть и было изгнано из «высоколобой» науки, но сохранило популярность среди «низколобых» практиков: физики и инженеры по-прежнему находили в нем бесценный эвристический инструмент для рутинных расчетов, который при всей его якобы неаккуратности всегда приводил их к верному ответу, как и Ньютона.