Информация и человек

А какая неправомерность «стыковки» информации допущена во втором софизме? Именно такая, какую мы умышленно допустили, когда говорили о десяти отрезках по сто метров и одном отрезке в тысячу метров. Отличие лишь в том, что в данном случае количество отрезков пути бесконечно. Здравый смысл подсказывает, что если требуется последовательно пройти бесконечно большое количество отрезков пути, пусть даже ничтожно малых, то идти придётся бесконечно долго, и до конечного пункта никогда не доберёшься. Всё логично. Но это логично только для человека, который совершенно не знаком с азами высшей математики и не знает такого понятия, как бесконечно малая величина. Само по себе это выражение подразумевает, вроде бы, какую-то «очень-очень маленькую» величину, например, одну миллиардную долю миллиметра. Или даже одну триллионную. Или ещё меньше. Но на самом деле это не совсем так. Для тех, кто совсем не знаком с математикой, поясним, что бесконечно малая величина это не какое-то конкретное «очень-очень маленькое» число. Это просто значение определённым образом заданной функции для определённых условий. Поясним конкретнее. Автор софизма задал бесконечно большое количество бесконечно малых отрезков пути не через совокупность конкретных величин, пусть и ничтожно малых, а через функцию: он задал бесконечно повторяющийся с определённой закономерностью цикл, который позволяет вычислить длину отрезка на любом этапе вычислений. Именно так в математике задаются бесконечно малые величины (не конкретным числом, а через функцию). Всегда получается числовой ряд с бесконечно большим количеством членов этого ряда. Но, пользуясь определёнными математическими методами, все члены подобного числового ряда можно просуммировать, несмотря на их бесконечное количество. При этом получаются вполне конкретные числа (не бесконечно малые или бесконечно большие, а просто «обычные» реальные числа). Точно так же, как в случае, когда мы складывали десять отрезков по сто метров, только методика суммирования несколько иная.

***

В данном конкретном случае если первоначальное расстояние от Ахиллеса до черепахи обозначить как S, то путь, который Ахиллесу надо пройти до черепахи, равен этому расстоянию плюс сумма S/10ⁿ, при n стремящемся к бесконечности (n=1,2,3…). Сумма всех отрезков равна 1,11111хS (одна целая и единица в периоде, умноженное на S). А время прохождения этих отрезков будет равно, соответственно, этому числу, поделённому на скорость ходьбы Ахиллеса. Совсем не бесконечно большое число.

Для лучшего понимания того, каким образом получается, что сумма бесконечно большого количества определённых величин может не превышать конкретного значения, можно рассмотреть такой пример. Допустим, нам надо записать в десятичной форме число 1/3. Это выглядит, как известно, так: 0,3333333… То есть, «ноль целых и три в периоде». Заметим: каждая последующая тройка имеет значение в десять раз меньше предыдущей, и их мы можем приписывать сколь угодно долго. Но в сумме они никогда не превысят числа 1/3.

***

Другими словами, в сознании должна присутствовать и такая аксиома: бесконечное количество членов числового ряда вовсе не свидетельствует о бесконечно большой величине их суммы. Именно отсутствие в сознании такой аксиомы и делает «логичным» данный софизм. Автор этого софизма, фактически, просто нашёл способ бесконечно долгого анализа процесса прохождения Ахиллесом заданного пути (по принципу «у попа была собака»). Но длительность анализа процесса и длительность самого процесса вовсе не обязательно взаимосвязаны. (Кстати, это не единственный софизм древних, где, по сути, банально не учитываются свойства бесконечно малых величин. Составители этих софизмов были явно не в ладах с математикой.)

Впрочем, можно и без знания математики обратить внимание на тот простой факт, что при делении пути на мелкие отрезки, время их прохождения уменьшается строго в той же пропорции, то есть суммарное время их прохождения никак не увеличится.