Инновации на финансовых рынках

Полученные стоимости потоков должны быть приведены к одному моменту времени с помощью безрисковой ставки, и при этом учтена вероятность совершения платежа, или фактически вероятность дефолта в каждом отдельном периоде.

Оценка вероятности риска по формуле (6.3) предполагает, что спред между облигациями обусловлен только кредитным риском. Таким образом, временная структура спредов рисковой облигации относительно безрисковой является временной структурой вероятностей дефолта рисковой облигации.

При расчете приведенных потоков продавца защиты некоторые авторы расходятся во мнении, учитывать ли вероятность дефолта. Например, Дж. Халл [Hull, White, 2000] учитывает данную вероятность, а П. Шонбутчер [Schonbucher, 2003] нет. Дело в том, что от вероятности дефолта напрямую зависит, будет совершен платеж или нет, поскольку если наступит дефолт, то покупатель уже ничего не платит, а наоборот, получает платеж от продавца. На наш взгляд, данную вероятность следует принимать во внимание для расчета приведенных потоков продавца защиты, поскольку, если есть вероятность несовершения платежа, то ее надо учесть. И продавец должен ее учитывать, так как, если он, выписывая CDS, уверен, что дефолт базового актива не наступит, то продавец может принимать на себя неограниченные риски, или в предельном случае просить за предоставляемую защиту сколь угодно маленькую сумму. Поэтому в данном случае будем опираться на вариант модели Халла [Hull, White, 2000] и учтем вероятность совершения платежа при расчете будущих потоков продавца защиты.

Вторым отличием моделей является расчет вероятности дефолта в отдельном периоде между двумя периодическими платежами. Хотя Шонбутчер не использует напрямую вероятность дефолта, в его модели участвует интенсивность наступления дефолта в данном периоде, рассчитанная на основе формулы (6.3). Дело в том, что вероятность наступления дефолта в каждый отдельный период у Халла одинакова, т. е. в его модели используется вероятность дефолта в периоде I, и считается, что она будет неизменной на все остальные периоды. Таким образом, получается, что временная структура процентных ставок имеет плоскую форму – является горизонтальной прямой. Но как показывает практика, временная структура процентных ставок имеет не плоскую форму, а, как правило, форму возрастающей функции: ставки возрастают по мере увеличения срока, а также расширяются спреды. Поскольку временная структура процентных ставок отражает временную структуру вероятности дефолта, то для точности модели важно использовать именно реальную кривую процентных ставок. Действительно оценочная вероятность дефолта в более поздние периоды должна быть выше для участников сделки CDS, поскольку с увеличением срока увеличивается неопределенность. Поэтому будем использовать подход Шонбутчера и рассчитаем вероятность дефолта по периодам на основе временной структуры кривой процентных ставок.

Приведенная стоимость периодических платежей продавца защиты выражается формулой:

где s – стоимость CDS в процентах от номинала облигации; r – непрерывная безрисковая ставка дисконтирования; n,N— период платежа и общее количество периодов (срок контракта); е^-rn – дисконтирующий коэффициент по непрерывной годовой ставке r; P(t_n_₂, t_n-1) – вероятность того, что по рисковой дисконтной облигации, в период времени (t_n_₂, t_n-1) не произойдет дефолта;

Значит, произведение П₂ⁿ P(t_n_₂, t_n-1) выражает вероятность того, что не произойдет дефолта до начала периода n.

Таким образом, в формуле (6.4) суммируется приведенный платеж по CDS, умноженный на вероятность его совершения.

Кроме того, необходимо оценить платежи за защиту в период t – t_n – время от совершения последнего платежа до дефолта. Поскольку распределение дефолтов между платежами считается равномерным, то в среднем дефолт должен произойти посередине периода. Поэтому приведенная стоимость одноразовой выплаты половины s в случае дефолта в периоде п рассчитывается по формуле:

где – вероятность, что дефолта не произойдет до середины периода n; (1 – P(t_n-1, t_n) – вероятность наступления дефолта в период n.

По аналогии с формулой (6.4) оценим приведенную стоимость платежа, которую получит покупатель защиты CDS в случае наступления дефолта:

где δ – коэффициент покрытия.

Следовательно, (1 – δ) – платеж продавца защиты в случае дефолта.

Как уже отмечалось, условием определения справедливой цены по CDS выступает равенство ожидаемых потоков покупателя и продавца CDS. Таким образом, цена CDS определяется по следующему уравнению относительно s:

S_n + S_НКД=P_n^d. (6.7)