Инновации на финансовых рынках

Модели с постоянной или детерминированной интенсивностью, основанные на распределении Пуассона, можно развить в модели со стохастичной интенсивностью, а значит, и со стохастичным изменением спредов, если вместо процесса Пуассона использовать процесс Кокса. В целом процесс Кокса – это процесс Пуассона со стохастичной интенсивностью наступления кредитного события.

Общий подход к построению кредитного спреда на основе процесса Пуассона и Кокса широко используется в другом классе моделей оценки деривативов, в частности кредитных деривативов и CDS-моделей интенсивности.

6.4. Модели оценки CDS, основанные на интенсивности дефолтов

Данные модели используют два основных фактора, определяющих стоимость актива, в нашем случае CDS. Первый фактор – это интенсивность наступления дефолтов или кредитных событий λ, второй – процентная ставка г.

В целом данные модели являются логическим продолжением модели оценки CDS на основе стоимости облигаций, только здесь оценка CDS проводится не в терминах вероятности дефолта, а в термине интенсивности его наступления λ. Проще можно сказать, что интенсивность наступления дефолта – это вероятность его наступления в единицу времени, поэтому две приведенные выше модели непосредственно связаны между собой. Просто в моделях, основанных на интенсивности, главное внимание уделяется именно построению временной структуры интенсивностей дефолта и временной структуры процентных ставок, что в целом аналогично задачам, поставленным в модели оценки CDS на основе стоимости облигаций.

В предыдущем параграфе, описывающем модели кредитного спреда на основе распределения Пуассона и стохастичного кредитного спреда, было показано, как выражается вероятность наступления дефолта через интенсивность, там мы использовали либо постоянную интенсивность λ, либо интенсивность, определяемую как функцию от времени λ =f(t). Здесь интенсивность и процентные ставки будут рассматриваться как стохастические величины. Иначе говоря, стоимость рисковой облигации выражается в виде:

Другими словами, это математическое ожидание функции процентной ставки r(s) и интенсивности дефолта λ(s) на сроке существования облигации, где и процентная ставка, и интенсивность дефолта – функции стохастические.

При использовании моделей оценки CDS, основанных на интенсивности, следует обратить внимание на два основных аспекта: точно определить саму модель и численно ее использовать.

Рассматриваемые модели должны быть откалиброваны под рыночные цены, т. е. отражать реальную ситуацию на рынке, чтобы полученные в результате оценки данные имели практическую значимость.

Параметры модели должны быть достаточно гибкими, чтобы была возможность подстроить их под конкретные рыночные данные, а параметры иметь аналитическую трактовку, т. е. чтобы модель имела конкретный логически завершенный экономический смысл. Отдельным требованием выступает построение адекватной структуры безрисковых ставок.

При определении параметров модели оценки используют два принципиальных подхода. Первый предполагает, что стохастичная динамика процентных ставок и интенсивности дефолта получается или выводится аналитически. Преимуществом данного подхода является то, что аналитическая трактовка модели не ограничивается только калибровкой модели под конкретные рыночные данные, но и рассматривает другие проблемы оценки. Более того, данный метод помогает понять влияние разных параметров на оценку, в частности, корреляцию между процентной ставкой г и интенсивностью λ, иначе такое понимание могло бы быть выявлено только в результате расчетов и экспериментов. В итоге аналитический подход в определении динамики процентных ставок и интенсивности дефолта позволяет рассчитать безарбитражные цены активов при тех или иных изменениях параметров процентных ставок и интенсивностей, т. е. позволяет определить потенциальные торговые возможности.

Второй подход состоит в том, чтобы напрямую взять рыночные цены калибровочных инструментов, динамика параметров которых будет использоваться в качестве базы для оценки других инструментов. И на основе конкретных рыночных цен смоделировать параметры модели так, чтобы модель получилась безарбитражной. Преимущество модели заключается, во-первых, в том, что автоматически решается проблема калибровки модели под рыночные значения, а с другой – в случае ошибки в выборе калибровочного инструмента, который может быть неправильно оценен рынком, модель не выявит искажения цен активов, так как предполагается, что динамика параметров модели получена на основе идеальных цен. Данный подход использует такие методы моделирования динамики процентных ставок и интенсивностей дефолта, как построение дерева событий: биномиальные и триномиальные модели, подобные модели Кокса [Сох, Ross, Rubinstein, 1979], и метод Монте-Карло.

6.5. Структурные модели или модели оценки CDS на основе стоимости фирмы