Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Мы уже писали в этой книге, что наше представление о том, что такое доказательство, сформировали и развили древние греки 2500 лет тому назад. Они оставили нам в наследство замечательную и глубокую парадигму, от которой мы не отказались и в новом тысячелетии. Однако все идеи изменяются и развиваются. В конечном счете наша цель — достичь истины, понять ее, проверить эту истину, распространить ее и научить ей других. Долгое время в нашей профессиональной истории математики проживали жизнь у себя в голове. Их главный интерес — открыть новые знания и убедиться в их истинности. Разделить знания с другими — это во вторую очередь. Теперь наши взгляды и ценности изменились.

Сейчас математиков больше, чем было за все время с 500 до н. э. и до 1950 г. Многие математики работают в колледжах и университетах, которых уже более 4100 (2474 с четырехгодичным обучением и 1666 с двухгодичным) только в одних Соединенных Штатах Америки; и еще больше нескольких тысяч учреждений высшего образования во всем мире. В одной Америке в наших колледжах и университетах обучаются 17,5 млн студентов. Кроме того, много тысяч математиков заняты в индустрии, в правительственных исследовательских организациях (таких как Лос-Аламос и Оук-Ридж), в научных лабораториях всех мастей. Математика столь многообразна и всепроникающа, что коммуникация между математиками различных типов становится насущной необходимостью.

Представление о том, что значит быть математиком, развивалось со временем. Не так давно математиком считался эксперт в евклидовой геометрии, ньютоновом математическом анализе, векторном анализе Гиббса и еще в нескольких хорошо известных областях. А сейчас существует много типов математиков, которые могут иметь разную подготовку. Одни работают в проекте генома. Другие на НАСА. Третьи на аэрокосмическую корпорацию. Некоторые работают на Национальное агентство безопасности и многие на Уолл Стрит. Они часто говорят на разных языках и у них бывают различные системы ценностей. Чтобы математики различных школ могли общаться эффективно, нужно точно знать, какие подходы к своей работе они используют. Какие задачи они решают? Какие типы ответов ищут? Как оценивают свою работу? Какими инструментами пользуются?

По этим причинам важно, чтобы математическое сообщество имело формальное признание изменяющейся и развивающейся природы математического доказательства. Классическое понятие доказательства, воспринятое нами у Евклида и Пифагора, — это фундамент наших процедур аналитического мышления. Большинству профессиональных математиков не понравилось бы, если бы мы отказались от концептуального фундамента нашей науки. На развитие нашей мысли влияют много разных точек зрения, много разных процессов, много разных видов вычисления, много разных источников знания. И мы приветствуем их всех. Никогда не знаешь, с какой стороны придет новая идея или какие плоды она принесет. Хорошие идеи драгоценны и труднодоступны, так что не стоит закрывать пути для них или отказываться от каких бы то ни было возможностей.

Наше понятие «доказательства» будет развиваться и меняться. Мы можем многое узнать, проследив за этой эволюцией математической мысли, и это следует сделать. Явление компьютеров позволило нам увидеть то, что раньше было недоступно (используя компьютерную графику и методы построения изображений), позволило проводить немыслимые прежде эксперименты «а что если…». Развитие и расцвет математического сотрудничества — и внутри, и вне профессионального сообщества — создали новые возможности и научили нас новым способам коммуникации. Мы овладели новыми языками. Научиться разговаривать с инженерами нелегко, но у этого процесса есть свои плюсы: появляется возможность узнать о новых задачах. То же относится к физикам, компьютерным специалистам, биологам и медикам.

Заниматься математикой в XXI в. здорово потому, что это открывает много дверей, а закрывает лишь несколько. Мир становится более математическим, и этот факт осознается всеми. Общепризнанно, что математики обладают навыками критического мышления и умеют решать задачи. В учебных заведениях для адвокатов, медиков и многих других любят брать в аспирантуру математиков, поскольку знают, что они умеют думать. Способность анализировать математические аргументы (т. е. доказательства) и решать математические задачи — это талант, который работает во многих различных областях и находит применение в самых разных ситуациях.

13.3 Что будут называть доказательством через 100 лет?

Все более очевидно, что деление на инженеров, математиков и физиков становится все более размытым. Широко распространившееся сотрудничество между этими различными группами снимает преграды и открывает пути коммуникации. Хотя исторически сложилось, что математик — почетная и уважаемая профессия, представляющая вершину человеческой мысли, сейчас мы можем поместить эту модель в более широкий контекст.