Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Сейчас в мире насчитываются десятки тысяч математиков. Скажем, «Заметки Американского математического общества» выходят тиражом около 30000 экземпляров. А реальный круг читателей еще шире. Абстрактная математика — вполне устоявшаяся дисциплина. Те, кто обладает продвинутыми познаниями в математике, не стали бы говорить, что в ней больше нет места доказательствам. Доказательство — сердце нашей науки; благодаря ему она еще тикает. Как сердце бейсбола — координация движений рук и глаз, как сердце инженерии — практическая техническая идея, как сердце живописи — чувство цвета и эстетика, так способность ценить и создавать доказательства — в сердце математики.

Если бы кто-нибудь вынул из математики все доказательства, что бы в ней осталось? Описательный язык. Мы могли бы проверить прямоугольность треугольника, конгруэнтность фигур, параллельность прямых и пытаться что-нибудь вывести из этого. Мы могли бы разглядывать изображения фракталов и делать описательные замечания. Мы могли бы выводить на печать компьютерные данные и делать остроумные наблюдения. Мы бы могли пичкать компьютер численными данными и пытаться как-то их оценить. Мы могли бы любоваться компьютерной графикой. Но это не математика. Математика — это (i) придумывание новых идей и (ii) проверка этих идей с помощью доказательства[132]. Непреходящая и исконная ценность этой науки заключается в ее методологии, а методология — в доказательстве.

Подчеркнем еще раз, что доказательство выделяется среди методологий других наук своей независимостью от времени. Грандиозная идея в компьютерных науках через пару лет легко может превратиться в старомодную. Языки SNOBOL и COBOL в 1960-х гг. были прорывом, а теперь про них никто не помнит. В 1970-х гг. стандартным языком для научных вычислений был фортран. Сейчас его вытеснили C и C++, именно они используются «по умолчанию». Но современные версии фортрана, такие как фортран-90, фортран-95 и фортран-2000 до сих пор в ходу.

То же самое в медицине. Может быть, вы помните, что радиальная кератотомия некоторое время была самым передовым методом хирургической коррекции зрения. Этот период длился всего пару лет, до тех пор пока медики-ученые не осознали, что не могут в точности предсказать долговременные эффекты этой процедуры. На смену ей пришла методика LASIK (laser-assisted in situ keratomileusis — лазерный кератомилез). Сейчас под сомнение попали долговременные эффекты LASIK, так что методика опять будет переоценена.

Искусственное сердце создали потому, что пациенты отказывались от трансплантированных сердец. Но сейчас доктора научились убеждать пациентов соглашаться на трансплант, так что искусственные сердца вызывают меньше интереса. Долгое время рентгеноскопия была главным средством диагностики. Мы знаем, что она все еще применяется, но во многих случаях ее заменили магнитно-резонансная томография или другие новые технологии создания изображений.

Мы так подробно все это описываем, чтобы подчеркнуть, что в математике не бывает ничего подобного. Да, в математике есть свои моды и свои предубеждения. Но то, что в математике было верно однажды, останется верным навсегда. В свое время во всех высших учебных заведениях изучали сферическую тригонометрию; она входила в обязательную программу, как сейчас математический анализ. Потом она вышла из моды. Однако в 1993 г. Ву Йи Хсианг использовал сферическую тригонометрию, чтобы подойти к решению знаменитой задачи Кеплера об упаковке сфер. Так что интерес к сферической тригонометрии возродился. Гиперболическая геометрия была своего рода реликтом классической геометрии Римана до тех пор, пока в 1980-х гг. не пришел Билл Тёрстон и не сделал ее частью своей программы классификации трехмерных многообразий. Теперь все учат гиперболическую геометрию.

Подчеркнем, что никто никогда не считал сферическую тригонометрию и гиперболическую геометрию неправильными. Такого не могло случиться. Просто какое-то время было принято проходить мимо них. Все знали, что они существуют, и знали, для чего. Просто они не вызывали интереса. Было много других вещей поновее и поинтереснее, на которые хотелось потратить время. Но сейчас благодаря идеям выдающихся математиков старые знакомые вышли на передний край.

Доказательства в математике важны, поскольку они отмечают то, во что мы верим и на что можем положиться. Они не зависят от времени, они незыблемые и надежные. Они цементируют нашу науку и обращают ее во славу человеческой мысли.

13.2 Почему важно, чтобы понятие доказательства развивалось