Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Дориан Гольдфельд (р. 1947) взял на себя труд поговорить с живыми участниками или свидетелями вендетты между Эрдёшем и Сельбергом. Ясно, что там не было ни правых, ни виноватых. И Эрдёш, и Сельберг сделали свой вклад в это важное открытие, но их эго и стили в значительной мере противоречили друг другу. Ирвинг Каплански (1917–2006) в те дни тоже гостил в Институте перспективных исследователей и своими глазами видел эту вендетту. Он рассказал мне, что в какой-то момент зашел к Эрдёшу и сказал: «Пол, ты всегда говорил, что математика — это часть общественного достояния. Никто не владеет теоремами. Они открыты для каждого, кто готов их познавать и развивать. Зачем же ты продолжаешь эту битву с Сельбергом? Почему не оставишь его в покое?» И Эрдёш ответил: «Да, но это же первоклассная теорема!»

Сейчас, когда заходит речь об элементарном доказательстве теоремы о простых числах (в книгах, в статьях или в частных беседах), упоминают оба имени — и Эрдёша, и Сельберга. Люди избегают тыкать пальцем или принимать чью-то сторону. Но иногда проскальзывает самая ужасная дезинформация. В биографии [HOF] Эрдёша автор утверждает, что Сельберг «украл» у Эрдёша медаль Филдса. Это абсурдно. Сельберг заслужил медаль Филдса по многим причинам, и все равно получил бы ее, вмешался бы Эрдёш в историю или нет. (Эрдёш был выдающимся математиком, но все же не уровня Филдсовского медалиста.)

Глава 12. Джон Хорган и «Смерть доказательства?»

Если, как говорят, сор в глазах

Не даст мне говорить мудро,

Я все равно не откажусь от доказательства,

Как бы оно ни ошеломляло.

— Роберт Фрост

Мы говорим здесь о теоретической физике, и поэтому, конечно, математическая строгость не имеет значения и недостижима.

— Эдмунд Ландау

С рожденья нам присуща глупость: мы принимаем парадокс за открытие, метафору за доказательство, поток слов за источник абсолютных истин, а самих себя — за пророков.

— Поль Валери

И почему же, Господи, дважды два четыре?

— Александр Поуп

Чтобы предвидеть будущее математики, есть только один метод: изучать ее историю и настоящее.

— Анри Пуанкаре

12.1 Тезис Хоргана

В 1993 г. Джон Хорган, штатный колумнист журнала Scientific American, опубликовал статью под названием «Смерть доказательства?» [HOR1]. В ней автор утверждал, что математические доказательства больше не играют прежней роли в современном мышлении. В его рассуждении было несколько составляющих, и все они заслуживают того, чтобы мы их здесь рассмотрели.

Во-первых, в Йельском университете Хорган был учеником литературного критика Харольда Блума. Один из его главных тезисов — в литературном контексте — что нет ничего нового под луной. Любое важное и восхваляемое произведение современной литературы восходит к классикам — Шекспиру или Чосеру, или Спенсеру, или Драйдену, или еще какому столпу литературы, которому 400 лет от роду. Хорган решил обуть в эти же башмаки современные научные труды. Он заявил, что Исаак Ньютон и другие великие умы трехсотлетней выдержки высказали уже все великие идеи, а мы только движемся по накатанной и производим идеи второго эшелона.

Второе направление в рассуждении Хоргана — что компьютеры научились делать гораздо более эффективнее то, чем традиционно занимались только люди — т. е. думать. Иначе говоря, динозавр от математики может говорить сколько угодно, что глубокие прозрения в математике могут быть открыты, проработаны и проверены (читай доказаны) только человеком с традиционным математическим образованием. Джон Хорган утверждал, что компьютер сделает это лучше, гораздо эффективнее и намного быстрее.

Третья составляющая Хорганова рассуждения — математические доказательства стали настолько сложными (посмотрите на доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма — оно занимает целый выпуск Annals of Mathematics), что их все равно никто не понимает. Как они могут играть сколько-нибудь значительную роль в развитии современной математики?