Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

А где остаетесь вы? Вы можете дать цикл лекций и попытаться убедить всех, что с вашим результатом все в порядке. Но дело в том, что математика проверяется очень специальным и очень точным образом: какие-то математики садятся и читают вашу работу. Они или верят в нее, или нет. И в последнем случае вы попадаете в очень неловкую ситуацию.

Все это сказано, чтобы подготовить сцену для нескольких очень знаменитых случаев, когда люди писали значимые статьи или книги, решали важные задачи, а потом обнаруживали, что математический профессиональный мир не хочет принимать или одобрять работу. В большинстве этих случаев авторы испытывали горечь, несчастье и разочарование. Иногда меняли направление исследований. А иногда даже вовсе прекращали заниматься математикой.

• В 1969 г. Альфред Адлер из Нью-Йоркского государственного университета в Стоуни Брук опубликовал в Американском математическом журнале статью [ADL1], в которой показал, что шестимерная сфера не обладает структурой комплексного многообразия. Комплексные многообразия — это поверхности, обладающие некоторыми важными алгебраическими и аналитическими свойствами. Они играют значительную роль в дифференциальной геометрии и математической физике. Но конкретные примеры комплексных многообразий построить сложно. Шестимерная сфера действительно была бы интересным и значительным примером, если бы обладала комплексной структурой. Адлер утверждал, что это не так. Он опубликовал свою статью в серьезном журнале, а это предполагает, что она удовлетворила референта с самыми строгими стандартами.

Но никто не принял доказательство Адлера. На протяжении 39 лет он считал свое доказательство верным. Сейчас он удалился от дел и больше не участвует в математической жизни. Но после 1969 г. он не написал ни одной статьи[131]. И на протяжении этих 39 лет никто не мог ткнуть пальцем в ошибку. Наконец, лет 5 назад Юм Тонг Сиу из Гарварда написал статью, в которой объяснил, где именно была ошибка. Но статью Адлера никто уже не поправил, и до сих пор никто не знает, верно его утверждение или нет.

• В 1993 г. Ву Йи Хсианг обнародовал свое решение задачи Кеплера об упаковке сфер (эту задачу мы подробно обсуждали в разд. 10.3). Он опубликовал его в журнале, редактором которого был сам, так что можно ожидать благодушного отношения к этой статье со стороны журнала. В том смысле, что статья могла и не проходить строгого реферирования. Еще до публикации некоторые эксперты возражали против рассуждений Хсианга. В своей статье он утверждал, что нашел «самый плохой случай» упаковки сфер, а затем проанализировал этот самый случай. Экспертам это рассуждение не показалось ни полным, ни убедительным. Но Хсианг верил в свой подход и решил опубликовать работу. У него получилось. Его подход опирался на традиционную математику — он воспользовался методами сферической тригонометрии. Каждый желающий может прочитать статью и проверить ее. Эксперты так и сделали, и в конце концов не сочли ее доказательством. Но Хсианг не отказался от своих идей. В 2001 г. он опубликовал книгу [HSI3], в которой объяснил свой подход к задаче.

Тем временем Томас Хэйлс (опять-таки — мы с ним встречались в разд. 10.3) придумал свое доказательство гипотезы Кеплера об упаковке сфер. Его опубликовали в престижных Анналах математики [HAL2] и долго проверяли. Но рассуждения Хэйлса в значительной мере опираются на большие по объему и времени компьютерные вычисления, которые не поддаются проверке человеком. В наше время существуют методики проверки компьютера вторым компьютером, и Хэйлс организовал проект проведения такой проверки. Он обещал подготовить статью к концу 2011 г.

• В 1978 г. Клингенберг опубликовал статью, а за ней две книги (см. [KLI1]–[KLI3]), в которых утверждал, что любая замкнутая и ограниченная поверхность в пространстве имеет бесконечно много различных замкнутых геодезических. Геодезическая — это линия наименьшей длины. Например, на плоскости кривая наименьшей длины, соединяющая две точки — это прямая. На сфере или на глобусе кривая наименьшей длины, соединяющая две точки, — это дуга большого круга (большие круги получаются, когда сферу пересекает плоскость, проходящая через центр). Когда самолеты летят, скажем, из Лос-Анжелеса в Париж, они летят вдоль больших кругов. Клингенберг — видный математик, всю свою научную жизнь посвятивший геодезическим. Он открыл много важных фактов и был лидером в своей области. Но общество не приняло его доказательства.