Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Теория пределов Коши появилась гораздо позже и показала, как «победить» бесконечно малые. Но пока что они были в ходу, физики и другие ученые любили рассуждения с бесконечно малыми — они были убедительными, эвристически привлекательными и приводили к полезным и значимым выводам. Загвоздка была только в одном: никто не знал, что они из себя представляют. Спасение явилось со стороны Абрахама Робинсона.

Робинсон был математиком, и его познания отличались и глубиной, и широтой. Он изучал и прикладные задачи, и очень абстрактные чисто теоретические. Им восхищались все и уважали его за обширный и разнообразный вклад в математику. В 1963 г. Робинсон создал новую область под названием «нестандартный анализ». Самая важное в нем — он основан на системе чисел, которая включает не только все обычные действительные числа , с которыми математики имеют дело постоянно — целые числа, рациональные или дроби, и иррациональные числа (вроде или π), — но и бесконечно малые. Да-да-да, Робинсонова система чисел включила в себя эти неподатливые штучки, которые Исаак Ньютон придумал 300 лет тому назад.

Важно понимать, что Робинсон построил нестандартные действительные числа совершенно строго. Он воспользовался тонкими методами алгебры и логики — такими как понятие ультрафильтра — и дал явную и безупречную конструкцию этой новой числовой системы. Бесконечно малые теперь потеряли флер загадочности и выглядят буднично и доступно. Более того, эта новая система чисел включает бесконечно большие числа. Они обладают тем удивительным свойством, что они больше 10, больше 1000, больше 1000000, больше 10¹⁰⁰ (а это гугол) — они больше любого обыкновенного действительного числа.

Новая идея Робинсона объявилась как гром среди ясного неба (хотя и до того были попытки — в работах Пола Лоренцена и Детлефа Лаугвица). Для занятий математикой появилась новая вселенная. В этой новой вселенной необыкновенных действительных чисел математики могли открывать новые факты, истины и теоремы, неизвестные в привычном мире действительных чисел. И это еще не все! После того как новые теоремы доказаны в нестандартном подходе, их можно препроводить обратно в старый добрый мир действительных чисел. Так получаются новые теоремы в традиционной математике.

Таким образом, нестандартный анализ — в частности, бесконечно малые Абрахама Робинсона — дал нам новое, строгое, точное орудие для занятий математическим анализом. Человек покидает обычный мир действительных чисел и входит в эфемерный (но определенно осмысленный и строго построенный) мир нестандартных действительных. Здесь можно достичь поразительных результатов, которые немыслимы в прозаической действительности. Достигнув того, что раньше считалось немыслимым, можно вернуться к обычным действительным числам, прихватив с собой новую теорему.

Представьте себе, что кто-то ищет в чаще заблудившееся дитя. Он забирается в вертолет и ищет во всех направлениях — это было бы невозможно для человека, привязанного к земле. Сверху видно дальше, и можно заглянуть в лес с точки, недоступной пешеходу. Наконец, летчик видит дитя и дает знать коллегам на земле, которые могут быстро пройти к определенному месту и спасти заблудившегося. Здесь вертолет — это вспомогательное средство, которое не имеет отношения к конечной цели — потерявшемуся ребенку. Вертолет дает дополнительные возможности, которые позволяют решить задачу поиска быстро и безошибочно. Но когда задача решена, вертолет загоняют в ангар, и жизнь продолжается как ни в чем ни бывало. Та же история с множеством нестандартных действительных чисел . Это вспомогательное средство, которое дает дополнительные возможности и позволяет видеть вещи, ранее недоступные. Как только бесконечно малые сделали свою работу, их можно положить обратно на полку. Задача решена и можно вернуться к жизни в обычной действительности.

11.10 Калейдоскоп неправильно понятых доказательств

Этот автор однажды написал ([KRA2]):

Быть математиком — все равно что страдать маниакальной депрессией: ты проводишь жизнь, переходя от бурного энтузиазма к черному отчаянию и обратно. Тебе трудно относиться к своей работе объективно: пока задача не решена, она кажется крайне важной, но когда решение уже найдено, представляется, что вся история не стоит выеденного яйца, и ты удивляешься, как мог потратить на нее так много времени[129].